人教版数学八上同步考点分类训练专题02 与三角形有关的角(解析版).docVIP

专题02与三角形有关的角

【思维导图】

◎题型1：三角形内角和定理的证明

定理：三角形的内角和为180°．

备注：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关系．

例．（2022·全国·八年级课时练习）定理：三角形的内角和等于180°．

已知：的三个内角为、、

求证：．

证法1：如图

∵，，（量角器测量）

∵（计算所得）

∴（等量代换）

证法2：如图，延长到，过点作．

∴（两直线平行，内错角相等）

（两直线平行，同位角相等）

∵（平角定义）．

∴（等量代换）

即．

下列说法正确的是（???????）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理

B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理

C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整

D．证法2用严谨的推理证明了该定理

【答案】D

【解析】

【分析】

利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断C与D，

【详解】

解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；

B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；

C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；

D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．

变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（）

A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化

【答案】D

【解析】

【分析】

根据证明过程，是利用平行线的性质将三角形的内角和转化为平角定义证明这一数学思想，即可作出判断．

【详解】

解：延长BC至D，过点C作CEAB，

∴∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，

∵∠BCD＝180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE＝180°，

∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，

这个证明方法体现了转化的数学思想，

故选：D．

【点睛】

本题考查平行线的性质、平角定义、三角形的内角和定理的证明，根据证明过程找到转化思想是解答的关键．

变式2．（2022·全国·八年级）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（???????）

A． B．C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．

【详解】

解：∵“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的

即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．

变式3．（2021·全国·八年级专题练习）下列给出的5个图中，能判定是等腰三角形的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等腰三角形的判定定理，通过计算推出有两个角相等即可①利用三角形内角和计算即可，②利用三角形的外角性质计算即可，③利用平行线的性质得出∠C=∠B=50o即可，④利用AD∥BC，推出同旁内角互补∠ABC+∠BAD=180o，由∠ABC=120o，得∠BAD=60o，由∠CAD=30o，则∠CAB=60o-∠CAD=30o，由内错角相等∠BCA=∠CAD=30o，则∠BCA=∠CAB=30o即可，⑤利用平行线性质与外角性质即可推出．

【详解】

①∠C=180o-∠A-∠B=180o-70o-56o=54o，∠B=56o，∠C≠∠B，不是等腰三角形，

②∠C=∠140o-∠B=70o=∠B，是等腰三角形，

③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50o，∠C=∠B=50o，△ABC是等腰三角形，

④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180o，∵∠ABC=120o，∴∠BAD=60o，∵∠CAD=30o，∠CAB=60o-∠CAD=60o-30o=30o，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30o，∴∠BCA=∠CAB=30o，∴△ABC是等腰