人教版数学八上同步考点分类训练专题05 三角形难点题型总复习(解析版).docVIP

专题05三角形难点题型总复习

◎题型一三角形三边关系的应用

1．（2022·安徽合肥·八年级期末）已知的三边长分别为，，8．

(1)求的取值范围；

(2)如果是等腰三角形，求的值．

【答案】(1)2m10；

(2)6或4

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的三边关系列不等式组求解；

（2）分m+2=2m，m+2=8，2m=8三种情况，分别讨论即可求解．

(1)

解：由题意得，

解得2m10；

(2)

解：当m+2=2m时，解得m=2（不和题意，舍去）；

当m+2=8时，解得m=6，符合题意；

当2m=8时，解得m=4，符合题意；

∴如果是等腰三角形，的值为6或4．

【点睛】

此题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，熟记三角形三边关系是解题的关键．

2．（2022·全国·八年级专题练习）已知a，b，c分别为的三边，且满足，．

(1)求c的取值范围；

(2)若的周长为12，求c的值．

【答案】(1)2c6

(2)3.5

【解析】

【分析】

（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c-2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c-6|＜c，列不等式组求解即可；

（2）由△ABC的周长为12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．

(1)

∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，

∴，

解得：2c6．

故c的取值范围为2c6；

(2)

∵△ABC的周长为12，a+b=3c-2，

∴a+b+c=4c-2=12，

解得c=3.5．

故c的值是3.5．

【点睛】

此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．

3．（2022·黑龙江省八五五农场学校八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，则BC是多少？

【答案】1

【解析】

【分析】

由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=6，从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系即可求出底边．

【详解】

解：如图所示：

∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，

∵BD将三角形周长分为15和6两部分，

∴可知分为两种情况：

当AB+AD=15，即3x=15时，解得x=5，此时BC=6-x=1，故三角形ABC三边长为10，10，1，能构成三角形；

当AB+AD=6，即3x=6时，解得x=2；此时BC=15-x=13，故三角形ABC三边长为4，4，13，不能构成三角形；

∴BC的长为1．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，注意求出的结果一定要检验是否符合三角形三边性质，分类讨论是正确解答本题的关键．

4．（2021·江西宜春·八年级期中）已知△ABC三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）．

（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长；

（2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值．

【答案】（1）等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值为3．

【解析】

【分析】

（1）由于a+3≠a+5，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①a+3=3a+1；②a+5=3a+1．求出a的值后，根据三角形三边关系即可求解；

（2）根据三角形三边关系列出关于a的不等式组求出a的范围，再根据三角形的三条边都不相等，且为正整数可求a的最大值．

【详解】

解：（1）①如果a+3=3a+1，

解得a=1，

三角形三边的长为4，4，6，符合三角形三边关系；

②如果a+5=3a+1，

解得a=2，

三角形三边的长为5，7，7，符合三角形三边关系．

综上所述，等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；

（2）a的最小值为3．

由三角形三边关系知，，

解得＜a＜7，

∵三角形的三条边都不相等，

∴a+3≠3a+1，a+5≠3a+1，

∴a≠1，a≠2，

∴＜a＜7且a≠1，a≠2，

∵a为正整数，

∴a的最小值为3．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系．

◎题型二：三角形中线的应用

1．（2020·山西忻州·八年级期末）已知，在等边三角形中，为边上的高.

操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；

（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由；

拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由.

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据三角形的面积公式计算即可证明.

(2