优控制系统设计.pptVIP

其终值条件为解上述方程可得或:调整和可使。例如，假定①S=0,,即P(1)=0，则得这时②S=10，,即P(10)=10,求得由可得这时的放大系数K=10。上述线性调节器是参数可调的，当满足上述要求时，就可以实现最优控制规律。例4.3设被控对象的状态方程是这是一个标量状态方程，试求最优控制u(t)，使性能指标为极小值。解根据式(4.16)得里卡德矩阵微分方程它是非线性标量微分方程。将里卡德方程中的变量t用代换，分离变量后，对等式两侧积分，积分的下限用t及P(t)，上限取终端时间及，则有得01因为极小值存在的必要条件是J对的一次变分为0，所以令02从而得到以下一组方程:03(4.1)以上四个方程叫作——控制作用不受约束的庞德亚金方程。0102一次变分03取的台劳级数展开式的二次项为J的二次变分，有：02极小值存在的充分条件是：沿着满足的一切轨线，J的二次变分必须非负。01二次变分：如果01半正定，则为非负值，即上述两个半正定条件为J极小的充分条件。03一点是较难掌握的。05半正定，及02由庞德亚金方程可知，初端与终端的各种不同情况都将影响贯截方程，即贯截条件，这04贯截条件的分析01始点时间、状态固定及终点时间固定、状态自由时，相应的新泛函指标为：02因为固定，所以有，而是完全任意的，则由前面推出的贯截方程:03得到贯截条件为：04系统的始点时间与状态都固定，终点状态固定，时间不固定：因为和都为0，即始点与终点的状态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的状态对性能指标极小化不产生影响，于是J中便没有末值项了。即:由于可得贯截条件方程为(4.3)为待定常数乘子。4.3线性调节器问题二次型性能指标的最优控制在现代控制理论中，基于二次型性能指标进行最优设计的问题已成为最优控制理论中的一个重要问题。而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是适用的。下面介绍什么是二次型性能指标的最优控制给定一个n阶线性控制对象，其状态方程是(4.4)寻求最优控制u(t)，使性能指标(4.5)达到极小值。这是二次型指标泛函，要求S、Q(t)、R(t)是对称矩阵，并且S和Q(t)应是非负定的或正定的，R(t)应是正定的。对性能指标的意义加以了解与讨论是非常必要的。式(4.5）右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的终态接近预定终态的程度.这一项对于控制大气层外导弹的拦截、飞船的会合等问题是很重要的。式(4.5）右侧的积分项是一项综合指标。积分中的第一项表示对于一切的对状态的要求，用它来衡量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，类似于古典控制理论中给定参考输入与被控制量之间的误差的平方积分，这一积分项愈小，说明控制的性能愈好。积分的第二项是对控制总能量的限制，如果仅要求控制误差尽量小，则可能造成求得的控制向量u(t)过大，控制能量消耗过大，甚至在实际上难以实现。实际上，上述两个积分项是相互制约的：01要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗增大；反之，为了节省控制能量，就不得不降低对控制性能的要求。02求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义下的折衷，这种折衷侧重哪一方面，取决于加权矩阵Q(t)及R(t)的选取。03如果重视控制的准确性,则应增大加权矩阵Q(t)的各元，反之则应增大加权矩阵R(t)的各元。04Q(t)中的各元体现了对X(t)中各分量的重视程度，如果Q(t)中有些元素等于零，则说明对X(t)中对应的状态分量没有任何要求，这些状态分量往往对整个系统的控制性能影响较微小，由此也能说明加权矩阵Q(t)为什么可以是正定或非负定对称矩阵。因为对任一控制分量所消耗的能量都应限制，又因为计算中需要用到矩阵R(t)的逆矩阵，所以R(t)必须是正定对称矩阵。12常见的二次型性能指标最优控制分两类:线性调节器线性伺服器——它们已在实际中得到了广泛