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第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分
第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十一章
二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分
因此上述计算公式相当于“换元法”.因此积分限必须满足说明:(2)注意到
如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则
例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)
例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度?=1).解:建立坐标系如图,则
其中L为双纽线例3.计算解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得
例5.计算其中?为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知
例6.计算其中?为球面解:化为参数方程则
内容小结定义性质(l曲线弧?的长度)
3.计算?对光滑曲线弧?对光滑曲线弧?对光滑曲线弧
补充1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:
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