2024-2025学年备战高二数学上学期期末-重难点04 圆锥曲线中的最值与范围问题（解析版） 北师大.docx

重难点04圆锥曲线中的最值与范围问题

一、单选题

1．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知点，点为椭圆：上一动点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以为圆心，为半径做圆，当与椭圆相切时，的值即为所求.

【详解】设：，由消去得：，

整理得：.

由，即为所求的最小值.

故选：C

2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求

【详解】由题意，设，

由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，

所以，又,

令，因为，所以，

所以，

由于对称轴为，所以在单调递减，

所以，又，

即，所以

故选：D

??

3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】求出抛物线的焦点，准线，过作于，则，将问题转化为求，由图可知当三点共线时最小.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

当时，，因为，所以在抛物线内，

过作于，则，

所以，

由图可知当三点共线时，最小，则最小值为.

故选：D

4．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（????）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解.

【详解】由双曲线可知，

且圆的圆心为，半径，

的圆心为，半径，

由圆的性质可知：，

可得，

可知，为双曲线的焦点，则，

可得，

所以的最小值为5.

故选：B.

5．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可.

【详解】因为所求点在抛物线上，

所以设所求点为：，

所以点到直线距离为：

，

当且仅当时，有最小值，

此时，

故选：B.

6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长AB的范围为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据切线的性质利用等面积法可得，再设，结合两点间距离公式求的取值范围，进而分析得解.

【详解】由题意可知：圆：得圆心为，半径，

??

因为，则，

由四边形的面积可得，

整理得，

设，

则，

且，可知当时，取到最大值，

当时，取到最大值，

即，则当时，AB取到最小值，

当时，AB取到最大值，

即弦长AB的范围为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：1.根据切线性质可得；

2.设椭圆上点，结合两点间距离公式求的取值范围.

7．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值.

【详解】将代入中得，，解得，故，

设，由题意得，

其中，，

故，即，

故，即，

设直线的方程为，联立抛物线方程得，

，则，

故，解得，

所以直线的方程为，恒过定点，

故点A到直线BC的距离最大值.

为取等号，，因为，以，满足,

故选：C

8．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.

【详解】联立，化简并整理得，

由题意，化简得，

解得，

所以过点且与垂直的直线方程为，

在该直线方程中分别令，依次解得，

所以，

即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：

??

若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为，

所以，

等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点，

若在左支上面，如图所示：

??

所以，

等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点，

综上所述，点Px,y到两点距离之和的最小值为

故选：A.

【点睛】关键点点睛：关键是求出点的运动轨迹方程，由此即可顺利得解.

二、多选题

9．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（????）

A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16

C． D．的