（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第05讲 平面向量基本定理（教师版）.docx

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预习05讲平面向量基本定理

①基底的概念及辨析

②用基底表示向量

③平面向量基本定理中的参数问题

④平面向量基本定理的综合应用

一、平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

（2）对平面向量基本定理的理解

①这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.

②对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.

③同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.

④这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.

二、平面向量基本定理的有关结论

（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；

当时，与共线；当时，，同样的时，.

（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.

题型一：

题型一：基底的概念及辨析

策略方法对基底的理解

两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作基底,若不共线,则可作基底.

【例1】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（????）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】C

【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.

【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；

对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；

对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；

对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；故选：C.

【变式1-1】已知向量与不平行，记，，若，则（????）

A．2B．C．D．

【答案】B

【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可.

【详解】依题意，，，，即，

，解得．故选：B．

【变式1-2】设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（???）

A．和B．和

C．和D．和

【答案】C

【详解】依题意，不共线，A选项，不存在使，所以和可以组成基底.B选项，不存在使，所以和可以组成基底.C选项，，所以和不能构成基底.D选项，不存在使，

所以和可以组成基底.故选：C

【变式1-3】设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是．（写出所有满足条件的序号）

【答案】③

【分析】根据基底的定义判断即可.

【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③；

其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选．

故答案为：③．

【变式1-4】若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为.

【答案】-8

【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解.

【详解】因为不能作为一组基，所以存在实数λ，使得，即，

则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8.故答案为：

题型二：

题型二：用基底表示向量

策略方法用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.

【例2】在梯形中，设，，若，则（???）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】由向量基本定理进行求解.

【详解】.

故选：A

【变式2-1】在中，为边上的中线，，则（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.

【详解】

因为，所以，由已知可得，，所以，，

所以，.故选：A.

【变式2-2】如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（????）

??

A．1B．2C．D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得,进而求得的值，进一步计算即可.

【详解】如图：

??

因为,所以故选：

【变式2-3】在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（????）

A．