（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第06讲 平面向量的坐标表示（教师版）.docx

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预习06讲平面向量的坐标表示

①平面向量的正交分解及坐标表示

②平面向量的坐标运算

③向量共线的判定及其应用

④向量坐标的线性运算解决几何问题

一、平面向量的正交分解

（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.

二、平面向量的坐标表示

（1）向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，

对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，

注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应

②两向量相等时，坐标一样

③，，

④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标

（2）点的坐标与向量的坐标的关系

区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号

②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.

联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

三、平面向量的坐标表示

（1）两个向量和（差）的坐标表示

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.

坐标表示：，则：

；

（2）任一向量的坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

，，则.

（3）向量数乘的坐标表示

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

坐标表示:,则.

四、平面向量共线的坐标表示

设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；

用坐标表示,可写为,即：

消去得到：.

这就是说,向量()共线的充要条件是.

题型一：

题型一：平面向量的正交分解及坐标表示

策略方法

求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.

(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.

【例1】若，点的坐标为，则点的坐标为（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.

【详解】设，故，而，故，故，故，故选：A.

【变式1-1】若向量，，，则可用向量，表示为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可.

【详解】设，即，

则有，解得，则.故选：A.

【变式1-2】如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解.

【详解】因为，所以，所以.故选：C.

【变式1-3】已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】设出点P的坐标，利用向量的坐标运算结合相等向量，列式计算作答.

【详解】设，则，，因，

从而有，解得，所以P点的坐标为.故选：A

【变式1-4】向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则.

??

【答案】4

【分析】首先以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，再利用平面向量坐标运算求解即可.

【详解】以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

??

则，所以.

因为，所以.

所以.所以.故答案为：4

【变式1-5】已知和是两个正交单位向量，，且，则（????）

A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4

【答案】B

【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解.

【详解】因为和是正交单位向量，，，可得，所以，解得或.故选：B．

题型二：

题型二：平面向量的坐标运算

策略方法

平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

【例2】已知向量，，则（???）

A．