（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第02讲 函数的性质及其应用（教师版）.docxVIP

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第02课函数的性质及其应用

①函数的单调性

②函数的奇偶性

③函数的周期性

④函数的对称性

⑤函数性质的综合应用

一、函数的单调性

（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；

（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数.

（3）【特别提醒】

①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．

②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

【单调性常用结论】

1.?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函数；?f(x)在D上是减函数．

2.对勾函数y＝(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．

3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．

5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．

6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．

二、函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数

关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数

关于原点对称

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．

三、函数的对称性

(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．

(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．

(3)若，则函数关于对称．

(4)若，则函数关于点对称．

四、函数的周期性

（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.

（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

【奇偶性、对称性、周期性常用结论】

1.奇偶性技巧

（1）若奇函数在处有意义，则有；

（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.

(3)常见奇偶性函数模型

奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．

=3\*GB3③函数或函数

=4\*GB3④函数或函数．

注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．

偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．

2.周期性技巧

3.函数的的对称性与周期性的关系

（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；

（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；

（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.

4.对称性技巧

（1）若函数关于直线对称，则．

（2）若函数关于点对称，则．

（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．

①函数的单调性

策略方法1.定义法证明函数单调性的步骤

2.判断函数单调性的四种方法

(1)图象法；(2)性质法；(3)定义法．

【例1】下列函数中，在定义域上单调递增的是（????）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】对选项A，利用复合函数的单调性即可判断A错误，对选项B，根据指数函数的单调性即可判断B错误，对选项C，根据复合函数的单调性即可判断C正确，对选项D，利用二次函数的单调性即可判断D错误.

【详解】对选项A，，定义域为，令，则在为减函数，为增函数，所以在为减函数，故A错误；对选项B，在R上为减函数，故B错误.

对选项C，，定义域为，令，则在为增函数，为增函数，所以在为增函数，故C正确；对选项D，定义域为R，对称轴为，

在为减函数，在为增函数，故D错误.故选：C

【变式1-1】函数的单调递减区间是（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案.

【详解】解析：，作出图象，

可以得到函数的单调递减区间是．故选：B.

【变式1-2】函数的单调递增区间是（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.

【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，