第20课 垂径定理（学生版）.pdf

第20课垂径定理

课程标准

（1）理解圆的对称性；

（2）掌握垂径定理及其推论；

（3）学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．

知识点01垂径定理

1．垂径定理

垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的.

2．推论

平分弦(不是直径)的直径，并且平分弦所对的.

【注意】

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

直径平分弦



垂直于弦平分弦所对的弧

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点02垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

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（4）.

【注意】

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个

条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直

径)

考法01应用垂径定理进行计算与证明

15cm

【典例】如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽AB

8cmCD

为，则水的最大深度为（）

A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm

【即学即练】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘

了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面

上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到

弦AB所在直线的距离是（）

A．（4﹣）米B．2米C．3米D．（4+）米

77

【典例】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．

2

(1)求证：AC＝BD；

(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．

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【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：

2，求AB的长．

考法02垂径定理的综合应用

3OA

【典例】如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为3

AB

CDOA

米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即）为米．则秋千链子的长为（）