具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数.pptVIP

定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用驻波法非齐次方程，齐次定解条件固有函数法应用分离变量法求解定解问题的步骤2.5具有非齐次边界条件的问题*本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题的求解方法。处理这类问题的基本原则是：无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅助函数的方法。（也可称为辅助函数法）我们以下面的问题为例，说明选取函数代换通过函数代换使得对于新的未知函数而言，边界条件为齐次的。考察定解问题：*(80)(81)(79)通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，为此令(82)并选取辅助函数使新的未知函数满足齐次边界条件，即(83)由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要(84)其实满足(84)中两个条件的函数是很多的，为了以后计算方便起见，通常取为的一次式，即设由条件(84)确定得于是可得因此，令则问题(79)-(81)可化成的定解问题*(80)(81)(79)(86)其中(85)将问题(86)的解代入即得原定解问题问题(79)-(81)的解。(79)(4)(3)(2)(1)若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法把非齐次边界条件化成齐次的。我们就下列几种非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数的表达式：以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。求解下列问题：*(87)例1(88)解选取辅助函数令则问题(87)化成(89)(88)应用固有函数法求问题(88)的解。为此，设利用节中推得公式(64)可知再利用节中推得公式(62)可知再将代入(90)即得把(90)代入(89)可得因此，原问题(87)的解为特别值得注意的是，对于给定的定解问题，01例如：02如果方程中的自由项03和边界条件中的04都与自变量05无关，06在这种情形下，我们可选取07辅助函数08通过函数代换09使方程与边界条件同时化成齐次的。10求解下列问题：*(91)例2解设问题的解为(92)将(92)代入问题(91)中的方程，即得为了将此方程化成齐次的，自然选取满足求解下列问题：*(91)例2解(92)再把(92)代入问题(91)中的定解条件，得为了将的边界条件也化成齐次，则满足*(94)(93)(91)(92)这样由代换问题(91)化为下面两个问题：和问题(93)是一个常微分方程的边值问题，其解为将求得的代入问题(94)(*)(*)(14)(15)利用公式其中系数满足那么其中系数计算可得于是，问题(94)的解为*因此，原问题(91)的解为求解下列问题：*(91)例2另解选取辅助函数令代入问题(91)得(*)由节的分析可设而且和分别满足如下定解问题(II)(*)(II)利用2.1节中的公式(14)(15)可算得其中系数为则问题(II)的解为(I)应用固有函数法求问题(I)的解。为此，令利用节中推得公式(53)可知再利用节中推得公式(51)可知当时，当时，则得问题(I)的解为*将问题(II)的解和辅助函数以及问题(I)的解加在一起，则得原问题(91)的解：内容小结对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：当方程和边界条件均为齐次时，不管初值条件如何，可直接应用分离变量法求解；当边界条件为齐次、方程与初始条件为非齐次时，原定解问题分解成两个，其一是方程为齐次的并具有原初始条件的定解问题，这个问题应用分离变量法求解；其二是方程为非齐次的并具有零初始条件的定解问题，该问题应用固有函数法求解；内容小结对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数把边界条件化为齐次的，然后再按照以前的方法求解。分离变量法、固有函数法、作辅助函数法方程和边界条件齐次方程非齐次，定解条件齐次边界条件非齐次求解。内容小结例如，对于像矩形带形2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言：应根据求解区域的形状适当的选取坐标系，使得在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于一类的区域采用直角坐标系对圆域、圆环域、扇形域等采用极坐标应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。对于二维泊松方程的边值问题而言：01内容小结0203(P1)04思路105将问题(P)的解看成两部