专题3-1 切线、公切线及切线法应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）.docx

专题3-1切线、公切线与“切线法”应用

目录

TOC\o1-3\h\u【题型一】“在点”切线1：有切点 1

【题型二】“在点”切线2：无切点 3

【题型三】“在点”切线3：双参型 4

【题型四】“在点”切线4：分段函数切线 6

【题型三】“过点”切线1 9

【题型四】“过点”切线2：切线条数 11

【题型五】“过点”切线3：最值与范围 13

【题型六】双函数公切线 15

【题型七】三角函数的切线 17

【题型八】切线与倾斜角 19

【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离 20

【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值 23

【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参 25

【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参 27

【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参 30

【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等 33

【题型十五】综合应用 35

二、真题再现 38

三、模拟检测 42

【题型一】“在点”切线1：有切点

【典例分析】

已知函数（其中e为自然对数的底数）的图象在处的切线的斜率为8，则实数a的值为（???????）

A．1 B．2 C．e D．3

【答案】B

【分析】求出f(x)的导数，将点的横坐标代入得斜率8，解出实数a即可.

【详解】，，解得．

故选:B．

【提分秘籍】

基本规律

基本规律

以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数f(x)的导数f′(x)；

②求切线的斜率f′(x0)；

③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．

【变式演练】

1.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求导数，令，计算的值，得到，，计算斜率，用点斜式写出直线方程即可.

【详解】因为，令，则，所以，则，，，

，所以切线方程为：

故选：A.

2.已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（???????）

A．1 B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，函数，则，

可得，，即切点坐标为，

所以在处的切线为，

当时，；当时，，

因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，

可得，解得或，

又因为，所以.

故选：C.

3.已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为（???????）

A．3 B．3 C．5 D．5

【答案】B

【分析】利用导函数可求出，然后利导数的几何意义即得.

【详解】由题可得，令，得，

所以，即，

所以的图象在点处的切线的斜率为.

故选：B.

【题型二】“在点”切线2：无切点

【典例分析】

已知四条直线，，，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数的图象相切的概率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据切线的斜率可求切线的切点，进而根据点斜式求出切线方程，即可判断三条直线中哪些是切线，进而根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】由题设，，当，得，若，则，即切点为的切线为；若，则，即切点为的切线为，当，得，若，则切点为，切线方程为：，若，则切点为，切线方程为：，故直线与的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有三种情况，与的图象相切只有，故概率为．

故选：B

【变式演练】

1.以下曲线与直线相切的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直线的斜率为，且经过点，利用导数的几何意义分别判断是否为选项中曲线的切线即可.

【详解】直线的斜率为，且经过点，

选项A.点在曲线上，但曲线在点处的切线的斜率不存在,故不正确.

选项B.由，则，设切点为，则，则

所以切点为，显然点不再在直线上，故不正确.

选项C，曲线过点，又

当时，，所以曲线在点处的切线方程为：

所以曲线与直线相切，故正确.

选项D.由，则，设切点为，则，则

所以切点为，显然点不在直线上，故不正确.

故选：C

2.若曲线与y=2x+1相切，则实数a=（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据导数求切线方程的即可.

【详解】设切点坐标为，由，则，且，将代入得，故a=1.

故选：A

3.直线与曲线相切，则的值为（???????）

A．2 B．-2 C．-1 D．1

【答案】D

【分析】求出，设切点，由求出，代入可得答案.

【详解】，设切点，由，

所以，代入，得．

故选：D.

【题型三】“在点”切线3：双参型

【典例分析】

已知为正实数，直