函数的单调性教学课件.pptVIP

*****************学习目标理解函数的单调性概念，区分单调增函数和单调减函数。掌握函数单调性的定义和判定方法，并能运用导数判断函数的单调性。了解单调性与函数最值、函数图像、函数应用等方面的关系。什么是单调函数函数的变化趋势单调函数反映函数值随自变量的变化而变化的趋势，即函数值始终保持递增或递减。单调递增函数当自变量增大时，函数值也随之增大，这种函数称为单调递增函数。单调递减函数当自变量增大时，函数值随之减小，这种函数称为单调递减函数。函数单调性的定义定义在函数定义域内，如果自变量的值增大时，函数值也随之增大，则称该函数为单调增函数。定义在函数定义域内，如果自变量的值增大时，函数值随之减小，则称该函数为单调减函数。单调性单调性是指函数值随自变量的变化而变化的趋势，可以是单调递增或单调递减。单调增函数的定义单调性函数的单调性是指函数在定义域内变化的趋势。单调增函数对于定义域内任意两个不同的自变量，如果函数值随着自变量的增大而增大，则称该函数为单调增函数。单调减函数的定义1函数定义域函数定义域内任意两个自变量x1和x2,如果x1f(x2),函数称为单调减函数。2图像特点单调减函数的图像从左到右下降,函数值随自变量的增大而减小。3判断方法若函数在定义域上满足f(x)0,则该函数为单调减函数,导数为负值是函数单调减的充分条件。单调性与导数的关系1导数与单调性导数是函数单调性的关键2正导数函数单调递增3负导数函数单调递减4导数为零函数可能存在极值点函数的单调性与导数之间的关系是函数理论的核心概念之一。导数可以帮助我们判断函数在某一点的单调性，从而推断出函数在整个定义域上的单调性变化规律。导数为正值时的单调性1导数为正值函数在该点处切线的斜率大于零。2函数单调性函数在该点附近为单调递增。3直观理解函数图像在该点处向上倾斜。导数为负值时的单调性1导数为负值函数图像向下倾斜2函数值随着自变量的增大而减小3单调性函数在该区间内单调递减当函数的导数在某一区间内恒为负值时，则函数在该区间内单调递减。这意味着当自变量增大时，函数值会逐渐减小。这与导数为正值时的单调递增情况正好相反。我们可以通过观察函数图像来直观地理解这一点，当导数为负值时，函数图像会呈现出向下倾斜的趋势。导数变号时的单调性导数变号当函数的导数在某一点处从正值变为负值，或从负值变为正值时，函数的单调性发生改变。单调性变化函数在导数变号的点处，从单调递增变为单调递减，或从单调递减变为单调递增。拐点导数变号的点通常被称为函数的拐点，在拐点处，函数的图形方向发生改变。函数单调性的确定方法导数法利用导数的符号判断函数的单调性。当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。图像法观察函数图像，根据图像的走势判断函数的单调性。例如，图像向上倾斜的函数为单调递增函数，图像向下倾斜的函数为单调递减函数。解析法利用函数的表达式，直接判断函数的单调性。例如，对于线性函数，如果斜率为正，则函数单调递增，如果斜率为负，则函数单调递减。例题分析1例如，判断函数f(x)=x^2-2x在区间(1,2)上的单调性。首先求导数f(x)=2x-2。然后代入x=1.5得到f(1.5)=1，说明函数在x=1.5处是单调递增的。因为导数在整个区间(1,2)内都为正值，所以函数f(x)=x^2-2x在区间(1,2)上是单调递增的。例题分析2假设有一个函数f(x)=x^2-2x+1。我们需要判断这个函数的单调性。首先，我们需要求出函数的导数。f(x)=2x-2。然后，我们需要找到导数为零的点，即2x-2=0。解得x=1。当x1时，导数f(x)0，函数单调递减。当x1时，导数f(x)0，函数单调递增。例题分析3求函数y=x^3-3x^2+3x的单调区间。首先求导，得到y=3x^2-6x+3，再令y=0，解得x=1。将x=1代入y，得到y(1)=0，说明函数在x=1处有极值。判断函数单调性的步骤1求函数的导数利用导数公式或求导法则计算函数的导数，得到函数的导函数。2确定导函数的符号对导函数进行分析，确定其符号变化情况，找出导函数为正、负或零的区间。3判断单调性根据导函数符号判断函数的单调性。导函数大于零则函数单调递增，小于零则函数单调递减，等于零则函数可能存在极值点。综合练习1函数单调性的应用单调性在解不等式、求函数的最值等方面发挥重