人教版高二下学期数学(必修二)《6.3平面向量基本定理及坐标表示》同步测试题带答案.docx

第

第PAGE1页共NUMPAGES22页

人教版高二下学期数学(必修二)《6.3平面向量基本定理及坐标表示》同步测试题带答案

考试时间：60分钟；满分：100分

学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，

，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基

底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.

显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).

(3)点的坐标与向量的坐标的关系

3．平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和（差）的坐标表示

由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(

+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).

这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表示

由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

4．平面向量数量积的坐标表示

(1)平面向量数量积的坐标表示

由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=

+++.又=1，=1，==0，所以=+.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

(2)平面向量长度（模）的坐标表示

若=(x,y)，则或.

其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=

.

5．平面向量位置关系的坐标表示

(1)共线的坐标表示

①两向量共线的坐标表示

设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用

坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量，(≠0)共线的充要条件是-=0.

②三点共线的坐标表示

若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，

???????从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-)，

或由=得到(-)(-)=(-)(-).

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.

(2)夹角的坐标表示

设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.

(3)垂直的坐标表示

设=(,)，=(,)，则+=0.

即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.

【题型1用基底表示向量】

【方法点拨】

用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底

表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.

【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E为CD中点，AE与BD交于点F，若AC=a，

A．112a+14b B．3

【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，设AE=

A．67a+

C．34a+

【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在△ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC.设AB=a，AC=b，则AD可用基底

A．12(a

C．13a+

【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与BD交于点F．若AB=a，AD=b，则

A．14a+34b B．2

【题型2平面向量基本定理的应用】

【方法点拨】

结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.

【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）