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专题21垂美四边形模型

垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。

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垂美四边形的性质：①S垂美四边形ABCD=AC•BD②AB+DC=AD+BC

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证明：1）S垂美四边形ABCD=S△ABC+S△ADC

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=AC•BP+AC•DP=AC•(BP+DP)=AC•BD

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结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。

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2）∵AB=AP+BPCD=PD+PC

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∴AB+CD=AP+BP+PD+PC

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∵AD=AP+DPBC=BP+PC

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∴AD+BC=AP+BP+PD+PC

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∴AB+DC=AD+BC

[【变形一】如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP，

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则DP、BP、AP、CP之间的关系：DP+BP=AP+PC

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证明：∵DP+BP=DP+BC+PC

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PC+AP=PC+DP+AD而AD=BC

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∴DP+BP=AP+PC

[【变形二】如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP

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则AP、BP，CP，DP之间的关系：AP+PC=DP+BP

证明（思路）：

方法一：

过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点

H

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由已知条件可得HF⊥EG∴HG+EF=EH+FG(证明过程略)

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而AP=EH、BP=EF、CP=FG、DP=GH∴AP+PC=DP+BP

方法二：

将△APD平移至如图所示位置，点A与点B重合，点D与点C重合

由平移的性质可得DP=CM，AP=BM，DP∥CM，∴四边形DPMC为平行四边形

∴CD∥PM则∠1=∠2而∠2+∠3=90°

∴∠1+∠3=90