2025届北京市通州区高三上学期期中质量检测数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试卷

PAGE

PAGE1

北京市通州区2025届高三上学期期中质量检测数学试卷

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，集合，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】因为，又，

所以，

故选：D.

2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】因为，所以，

故复数在复平面内对应的点的坐标是，故C正确.

故选：C

3.下列函数中，在上单调递增的是（）

A B.

C. D.

【答案】A

【解析】对于选项A，由，得恒成立，则在上单调递增，所以选项A正确，

对于选项B，因为在上单调递减，所以选项B错误，

对于选项C，因为在上单调递减，所以选项C错误，

对于选项D，由，得到，当时，，当时，，

所以在单调递减，在上单调递增，故选项D错误，

故选：A.

4.已知角终边经过点，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据三角函数定义可得：，故可得，

则.

故选：A.

5.设，为非零向量，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】，为非零向量，“”展开为：

∴“”是“”的充要条件.

故选：C.

6.在中，，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为，，得到，

又，，

由正弦定理得，所以，

故选：D.

7.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】依题意有，即，

两边取对数得，所以，得到，

当容器中只有开始时的时，则有，所以，

两边取对数得，所以，

故选：C．

8.设函数，已知，，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为，且，

所以，得到①

又，则，得到②，

由①②得到，，即，又，所以的最小值为，

故选：B.

9.设集合，则（）

A.对任意实数a， B.对任意实数a，

C.当且仅当时， D.当且仅当时，

【答案】C

【解析】对A，若，则，

将代入不全部满足，此时可知，故A错误；

对B，当时，则，

将代入全部满足，此时可知，故B错误；

对C，若，，解之可得，所以C正确；

对D，当，则，将代入不全满足，

所以，故D错误.

故选：C

10.已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（）

A.1 B. C.2 D.4

【答案】B

【解析】如图：

取中点，则，，

，

∵三点共线，∴，即，

∴，

当且仅当时，取等号；

故选：B

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数的定义域是___________．

【答案】

【解析】因为，所以，则且，

故的定义域是.

12.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为，则________.

【答案】

【解析】由图知，，且，

所以，

故答案：.

13.已知等差数列的首项为，设其前项和为，且，则过点和，且满足的直线的斜率是________.

【答案】2

【解析】设公差为，因为，所以，解得，

所以，，

故直线斜率为.

14.设函数

①若，则函数的零点个数有________个.

②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________.

【答案】3

【解析】①，当时，，

由解得；

由，解得或.

综上所述，的零点个数有个.

②，当时，在区间上单调递增，

值域为，无最值.

当时，，

开口向上，对称轴为，，

当时，，

则，①，

的开口向上，对称轴为，

，则①不成立.

当时，，

则，解得.

综上所述，.

故答案为：；

15.已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：

①，；

②数列为单调递减数列；

③，使得；

④，均有.

其中正确结论的序号是________.

【答案】①②④

【解析】由，，

进而可得，结合，以此类推可得，

故，故，故①②正确，③错误，

由可得，

故.

由于，故，进而可得，故，

因此，

累加，

故，

当时，，故，故④正确，

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知函数，.

（1）求的最