2024-2025学年备战高二数学上学期期末-重难点03 轨迹问题（解析版） 人教A.docx

重难点03轨迹问题

一、单选题

1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（????）

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

【答案】D

【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识确定正确答案.

【详解】由于动圆经过定点，且与轴相切，

所以到定点的距离，等于到轴的距离，

根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线.

故选：D

2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（????）

??

A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆

【答案】C

【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案.

【详解】连接、，如图所示：

??

因为为的垂直平分线，所以，

所以为定值，

又因为点在圆外，所以，

根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.

故选：C.

3．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（????）.

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】C

【分析】设出点坐标，结合，将点坐标代入椭圆方程，求出点的轨迹方程即可得.

【详解】设，，则，

由及椭圆对称性，可取、，

故有、，

消去，可得，即，

即，则点为双曲线上一点.

故选：C.

4．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解.

【详解】设线段中点的坐标为，且点，

又由，可得，解得，

又由，可得，即，

故选：A

5．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（????）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解.

【详解】，设为线段中点，

，设，则，即．

则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；

故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.

故选：D

6．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（????）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

【答案】D

【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向量，由向量的关系求出M的轨迹方程.

【详解】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系，

设，，，

设M的坐标为，由题意可得，

则，，，

所以，，

由，可得，

整理可得：，所以，，

故动点M的轨迹是双曲线.

??

故选：D.

7．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程.

【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上．

∵，∴，整理得，

∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上，

∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为，

故选：A．

8．（22-23高二下·上海松江·期末）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题：

①曲线上的点的横坐标的取值范围是；

②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为.

则（????）

A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题

C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题

【答案】B

【分析】利用定义求得曲线C的轨迹方程为，由关于的方程有解，求的取值范围判断命题①；先判断得直线与曲线必有一个公共点，再将代入曲线得到无非零解方程，求实数的取值范围判断命题②.

【详解】对于①：由伯努利双纽线的定义可知，曲线C的方程为:

，

化简得，

设，则

方程化为

设上述方程的两个根为,则至少有一个大于等于0

则需有

由于，

，解得，

①为假命题；

对于②：直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点