2024-2025学年备战高二数学上学期期末-重难点05 定点、定值与定直线问题（解析版） 北师大.docx

重难点05定点、定值与定直线问题

一、单选题

1．（23-24高二上·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆离心率求得，设，表示出的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案.

【详解】由题意知椭圆C：的离心率为，

即，

设，则，又，

故，

又，故，

故选：C

2．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（????）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】设Px0,y0，可证得，设直线与直线的方程，表示出点和点坐标，由，求出直线的斜率.

【详解】则，，设Px0,

则，

设（），则，

直线的方程为，则的坐标为，

直线的方程为，则的坐标为，

∴，解得或．

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用两点的斜率公式和点在椭圆上，证明则，此时设（），则有，由求即可.

3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线方程求出其渐近线方程，设，进而表示出点到双曲线的两条渐近线的距离之积的表达式，结合在双曲线上，化简，即可得答案.

【详解】由双曲线的方程知，

渐近线方程为，即，

设，由题意，得，即，

点到渐近线的距离，

点到渐近线的距离，

所以．

故选：C．

4．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两个已知点在直线上，代入直线方程得出，然后简化直线PT的的直线方程为，从而得解.

【详解】由题意，斜率都存在，

设，，，

直线l的斜率，

直线l方程：，化简得

同理直线QT方程：，直线PT的方程：，

点，分别代入直线QP，QT方程，

即，消除，得，

代入直线PT方程：，得，

直线PT过定点.

故选：C

5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案.

【详解】抛物线的焦点为，

由题意可知：可知直线与抛物线必相交，

设，，，，

则，

设的方程为，

联立方程，消去并整理得，

根据韦达定理得，即，

同理可得，则，

可得，

设直线为，

联立方程，消去并整理得，

根据韦达定理得，所以.

故选：B.

6．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可.

【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，，

直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得，

由韦达定理得，，

，故C正确．

故选:C．

7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】首先由题意得到，平方后，利用点在椭圆上，变形得到的值，即可求解.

【详解】因为点，在椭圆上，

所以，

因为直线的斜率之积为，所以，

得到，得，

.

故选：C

8．（23-24高三上·云南楚雄·期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案.

【详解】

由题意结合双曲线定义可知，且，

不妨设，则，，，

.

在中，，由余弦定理得，

即，即，

解得.

在中，由余弦定理得，

即，即，结合，

即得，故得，即.

又可设，则，

而，故，

故选：A

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解.

二、多选题

9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为E，过的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，与两条渐近线交于点P，Q（其中点A，点P在第一象限内）