（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第01讲 平面向量的概念（教师版）.docx

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预习01讲平面向量的概念

①向量的有关概念及辨析

②相等向量与共线向量

③向量的表示与向量的模

一、向量的概念

（1）向量的概念

在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.

①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

②向量与向量之间不能比较大小.

（2）数量

只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等

（3）向量与数量的区别

①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小；

②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).

二、向量的几何表示

(1)有向线段

具有方向的线段叫做有向线段

①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作.表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.

②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.

（2）向量的表示

①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.

②字母表示:向量可以用字母,,,…表示

（3）向量的模

向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.

（4）两种特殊的向量

零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.

单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量

①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.

②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.

③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.

④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.

三、相等向量与共线向量

(1)平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.

(2)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.

（3）共线向量

任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.

共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.

题型一：

题型一：向量的有关概念及辨析

策略方法

解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.

【例1】（多选）下列命题中正确的是

A．单位向量的模都相等

B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C．若与满足，且与同向,则

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

【答案】AD

【解析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】单位向量的模均为1，故A正确；向量共线包括同向和反向，故B不正确；

向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；根据相等向量的概念知，D正确.故选：AD

【变式1-1】给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．

其中不是向量的有（????）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】C

【分析】既有方向，又有大小的量为向量

【详解】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C

【变式1-2】（多选）下列说法错误的是（????）

A．零向量没有方向B．零向量与零向量共线

C．若，，则D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量

【答案】AD

【分析】根据零向量的性质，即可判断选项A，B，根据平面向量的概念和性质，即可判断选项C，D.

【详解】对于A，根据零向量的性质可知，零向量可以是任意方向的，故A错误；

对于B，根据零向量的性质可知，零向量与任意向量共线，故B正确；

对于C，根据向量的性质可知，若，则，故C正确；

对于D，温度只有正负，没有方向，则温度为数量，故D错误；

故选：AD.

【变式1-3】（多选）下列说法中正确的是（????）

A．单位向量都相等

B．任一向量与它的相反向量