（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第05讲 平面向量基本定理（原卷版）.docx

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预习05讲平面向量基本定理

①基底的概念及辨析

②用基底表示向量

③平面向量基本定理中的参数问题

④平面向量基本定理的综合应用

一、平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

（2）对平面向量基本定理的理解

①这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.

②对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.

③同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.

④这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.

二、平面向量基本定理的有关结论

（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；

当时，与共线；当时，，同样的时，.

（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.

题型一：

题型一：基底的概念及辨析

策略方法对基底的理解

两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作基底,若不共线,则可作基底.

【例1】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（????）

A．，B．，

C．，D．，

【变式1-1】已知向量与不平行，记，，若，则（????）

A．2B．C．D．

【变式1-2】设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（???）

A．和B．和

C．和D．和

【变式1-3】设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是．（写出所有满足条件的序号）

【变式1-4】若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为.

题型二：

题型二：用基底表示向量

策略方法用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.

【例2】在梯形中，设，，若，则（???）

A．B．C．D．

【变式2-1】在中，为边上的中线，，则（????）

A．B．C．D．

【变式2-2】如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（????）

??

A．1B．2C．D．

【变式2-3】在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（????）

A．B．C．D．

【变式2-4】在平行四边形ABCD中，点P满足，若，则的值是．

【变式2-5】在中，为线段上一点，则.

(1)若，求，的值

(2)若，，，且与的夹角为60°，求的值.

题型三：

题型三：平面向量基本定理中的参数问题

策略方法

若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.

【例3】已知平行四边形中，，若，则（????）

A．B．C．2D．

【变式3-1】在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（????）

A．B．C．D．

【变式3-2】在平行四边形中，是对角线上靠近点的四等分点，点在上，若，则（????）

??

A．B．C．D．

【变式3-3】如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（????）

??

A．B．C．D．

【变式3-4】已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为.

【变式3-5】如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，，，其中，，，．

??

(1)当时，用向量，表示；

(2)证明：为定值．

题型四：

题型四：平