2025高考数学一轮复习-4.7.2-解三角形的综合问题-专项训练【含答案】.docxVIP

2025高考数学一轮复习-4.7.2-解三角形的综合问题-专项训练

INCLUDEPICTUREB组.TIFINCLUDEPICTUREE:\\大样\\人教数学\\B组.TIFINET【B级能力提升】

1.如图,在四边形ABCD中,BDAD,sin(π3-A)cos(π6+A)=

(1)求A;

(2)若AB=3,AD=3,CD=1,C=2∠CBD,求四边形ABCD的面积.

2.在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知a2=3(b+c).

(1)若A=π3

(2)若b=3,证明:A=2B.

3.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2(c-acosB)=3b.

(1)求角A;

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

4.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,

BDsin∠ABC=asinC.

(1)证明:BD=b;

(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.

(1)若∠ADC=π3

(2)若b2+c2=8,求b,c.

INCLUDEPICTUREB组.TIFINCLUDEPICTUREE:\\大样\\人教数学\\B组.TIFINET【C级应用创新练】

6.在①AB=25,②∠ADB=135°,③∠BAD=C这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,使得问题成立,并求BD的长和△ABC的面积.如图,在△ABC中,D为BC边上一点,AD⊥AC,AD=1,

sin∠BAC=255,

参考答案

INCLUDEPICTUREB组.TIFINCLUDEPICTUREE:\\大样\\人教数学\\B组.TIFINET【B级能力提升】

1.解:(1)因为(π3-A)+(π6+A)=

所以sin(π3-A)=cos(π

所以sin(π3-A)cos(π6+A)=14可化为sin2(π

由二倍角公式可得cos(2π3-2A)=1

因为BDAD,所以A∈(0,π2

所以(2π3-2A)∈(-π3,

所以2π3-2A=π3,解得A=

(2)在△ABD中,AB=3,AD=3,A=π6

由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA,

即BD2=3+9-2×3×3×32

所以BD=3.

在△BCD中,由正弦定理得sinCsin∠CBD=BDCD=

又因为C=2∠CBD,

所以sin2∠CBD=3sin∠CBD,

即cos∠CBD=32

又因为∠CBD∈(0,π),所以∠CBD=π6

从而C=2∠CBD=π3

所以∠BDC=π2

因此四边形ABCD的面积S=12AB·AD·sinA+12BD·CD=12×3

12+12×3×1=

2.(1)解:因为A=π3,且a2

由余弦定理可知,a2=3(b+c)=b2+c2-bc,

所以(b+c)2-3(b+c)=3bc≤34(b+c)2

当且仅当b=c时,等号成立,

所以b+c≤12,所以a=3(

即△ABC周长的最大值为12+6=18.

(2)证明:因为a2=3(b+c),且b=3,

所以a2=b2+bc,

由余弦定理可知,b2+bc=b2+c2-2bccosA,

所以b=c-2bcosA,

由正弦定理可知,sinB=sinC-2sinBcosA,

因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

所以sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),

又因为A,B∈(0,π),B+A-B=A≠π,

所以B=A-B,即A=2B.

3.解:(1)由2(c-acosB)=3b及正弦定理,

得2(sinC-sinAcosB)=3sinB,

所以2sin(A+B)-2sinAcosB=3sinB,

即2cosAsinB=3sinB,

因为sinB≠0,所以cosA=32

又0Aπ,所以A=π6

(2)法一因为a=2,所以由正弦定理,

得b=4sinB,c=4sinC,

所以S△ABC=12bcsinA=1

因为C=π-(A+B)=5π6

所以sinC=sin(5π6

所以S△ABC=4sinBsin(5π6

=4sinB(12cosB+3

=2sinBcosB+23sin2B

=sin2B-3cos2B+3

=2sin(2B-π3)+3

因为0B5π6,所以-π32B-π3

所以-32sin(2B-π

所以0S△ABC≤2+3,

即△ABC面积的最大值是2+3.

法二S△ABC=12bcsinA=1

由余弦定理得a2=b2