（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第03讲 不等式中的恒成立（有解）问题（原卷版）.docxVIP

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第03课不等式中的恒成立（有解）问题

①基本不等式恒成立问题

②函数不等式恒成立（有解）问题

③一元二次不等式恒成立（有解）问题

一、结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】

（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

三、其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

五、其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．

①基本不等式恒成立问题

【例1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式1-1】若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【变式1-2】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【变式1-3】设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式1-4】设，若恒成立，则的最大值为（????）

A．16B．2C．8D．1

②函数不等式恒成立（有解）问题

【例2】若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【变式2-1】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【变式2-2】设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式2-3】已知，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式2-4】已知函数，不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围是（????）

A．B．C．D．

③一元二次不等式恒成立（有解）问题

策略方法一元二次不等式恒成立问题

（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立

（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．

【例3】若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式3-1】若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式3-2】若存在，使得成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【变式3-3】若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式3-4】若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为

不等式中的恒成立（有解）问题随堂检测

1.若命题“，”是假命题，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．已知，且为真命题，则是的（????）

A．充分不