（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第04讲 复习04讲 三角函数中ω的值和取值范围问题（教师版）.docxVIP

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第04课三角函数中ω的值和取值范围问题

①与对称性相关

②与单调性相关

③与最值相关

④与零点相关

一、与对称性有关

(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；

(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；

(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；

二、与单调性有关

三、与零点有关

对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值.

①与对称性相关

【例1】已知函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于直线对称，则的最小值为（????）

A．3B．C．D．

【答案】C

【分析】先根据，求得，再根据余弦函数的对称性即可得出答案.

【详解】，，因为，所以，则，

又因函数的图象关于直线对称，所以，所以，又因为，

所以当时，.故选：C.

【变式1-2】若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】以为整体结合正弦型函数的性质求出结果.

【详解】因为，且，则，若函数的图象关于直线对称，则，解得.故选：C.

【变式1-2】记函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，（????）

A．2B．C．D．

【答案】C

【分析】由及的图象关于对称列出关系式，求出，，再由的图象关于对称，可求的最小值，从而可求的值．

【详解】由已知得，，因为函数的图象关于对称，所以，所以，所以，又因为，所以，，由的图象关于对称得，所以，即有，又因为，所以当最小时，，此时，所以，故选：C．

【变式1-3】若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式可得，根据由题意知在上有唯一的实根，结合正弦函数性质即可求解的取值范围.

【详解】,因为曲线关于直线对称，所以，得，.因为存在唯一的实数,使得曲线关于直线对称,所以只有唯一的值落在中,故有.故选:C.

【变式1-4】已知函数的图像关于点对称，且方程在上至少有两个解，写出满足条件的的一个值：.

【答案】.(答案不唯一)

【分析】由函数的图像关于点对称，得出，再根据在上至少有两个解，限定的范围，得出结果.

【详解】由题意得，即.由方程得在上至少有两个解，若，则，则，即，可得，当时，.故答案为：.

②与单调性相关

【例2】已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（????）

A．B．C．D．2

【答案】C

【分析】由条件结合余弦型函数的性质列关系式求.

【详解】因为函数为奇函数，所以，，又函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，由函数为奇函数且在区间上单调，所以函数在区间，所以函数的周期，所以，又，所以，故选：C.

【变式2-1】已知函数（）的图象经过点和，且在内不单调，则的最小值为（???）

A．1B．3C．5D．7

【答案】B

【解析】由图象经过点和列方程组，可得，再讨论可得，进而可得和的解析式，再检验单调性可得答案.

【详解】依题意得，，所以，，

所以，，消去得，

令，则，所以，因为，所以，

当时，，此时，，，

此时在上为递增函数，不合题意，应该舍去，

当时，，此时，，

此时，在上递减，在上递增，符合题意，所以的最小值为.故选：B

【变式2-2】已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】求出的图象的对称轴方程，在区间上不单调，可得对称轴在直线与直线之间可得答案.

【详解】的图象的对称轴为直线，，因为在区间上不单调，所以对称轴，在直线与直线之间，即，，化简得，，因为，所以令，得，又当时，，

综上.故选：B．

【变式2-3】已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.

【详解】已知，令，解得

则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.

【变