2024-2025学年备战高二数学上学期期末-专题05 双曲线（解析版） 北师大.docx

专题05双曲线

根据双曲线的定义求方程

一、单选题

1．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.

【详解】圆：，圆心，半径，

圆：，圆心，半径，

设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，

得，则，

因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，

即，半焦距，虚半轴长，

所以动圆圆心的轨迹方程是.

故选：B

2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（????）

??

A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆

【答案】C

【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案.

【详解】连接、，如图所示：

??

因为为的垂直平分线，所以，

所以为定值，

又因为点在圆外，所以，

根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.

故选：C.

3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义可得答案.

【详解】，由，

结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支，

在双曲线中，，可得，，

所以，

动点的轨迹方程为.

故选：A.

4．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（????）

A．（） B．

C．（） D．（）

【答案】A

【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可.

【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为，

设动圆圆心，半径，

则根据题意有,

根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：.

故选：A

5．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.

【详解】因为，，所以，动点满足，

由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，

设双曲线方程为，则有，，，

所以动点的轨迹方程为.

故选：D.

二、多选题

6．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点Px,y满足，则（????）

A．时，点的轨迹为圆

B．时，点的轨迹为圆

C．时，点的轨迹为椭圆

D．时，点的轨迹为双曲线

【答案】ABD

【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果.

【详解】对于选项A，当时，由，得到，

其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确，

对于选项B，当时，由，得到，

整理得到，即，所以选项B正确，

对于选项C，当时，由，

得到，其表示动点到定点和的距离之和为，

又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误，

对于选项D，当时，由，

得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为，

又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线，

故选：ABD.

三、填空题

7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为.

【答案】

【分析】由题意，结合双曲线的定义即可求解.

【详解】设，，

由于动点Mx,y的轨迹方程为

则，

故点M到定点与到定点A5,0的距离差的绝对值为8，

则动点Mx,y的轨迹是以为焦点的双曲线，

由于，，则，

故M的轨迹方程为：，

故答案为：.

四、解答题

8．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由双曲线定义可知点的轨迹是双曲线的右支，由此即可得解；

（2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程，由可知，结合韦达定理即可求解参数，由此即可得解.

【详解】（1）因为，且，

所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为，

所以，

所以其轨迹方程为.

（2）

由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

联立方程，消去得，

由题意，

设，

则，

，

，

且，

，

直线的方程.

焦点三角形问题

一、单选题

1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左?右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案.

【