2024-2025学年备战高二数学上学期期末-专题06 抛物线（解析版） 北师大.docx

专题06抛物线

利用抛物线的定义求轨迹

一、单选题

1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（????）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【答案】C

【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.

【详解】表示点Px,y到点1,0的距离；表示点Px,y到直线的距离.

因为，

所以点Px,y到点1,0的距离等于点Px,y到直线

所以的轨迹为抛物线.

故选：C.

2．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义即可得解.

【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大，

所以动点到定点的距离等于到的距离，

所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所以动点的轨迹方程是.

故选：B.

3．（23-24高二上·河南南阳·期末）在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（????）

A．若点满足，则动点的轨迹为一条直线

B．若，动点满足，则动点的轨迹是圆

C．若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆

D．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线

【答案】C

【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；利用勾股定理求出，由可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆可判断B；在平面内，设正方形对角线的交点为，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据可得动点的轨迹可判断C；点到直线的距离即点到点的距离，根据抛物线定义可判断D.

【详解】对于A，

??

连接，因为平面，平面，

所以，因为四边形为正方形，所以，

因为，平面，所以平面，

当点在直线上时，此时平面，可得，

则动点的轨迹为直线，故A正确；

对于B，连接，若，，所以，

又因为，所以动点的轨迹在平面是在平面内，

以为圆心，为半径的圆，故B正确；

??

对于C，在平面内，设正方向对角线的交点为，以所在的直线为轴，

所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设，则，设Px,y，

因为，所以，化简得，

则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误；

??

对于D，因为平面，平面，所以，

所以点到直线的距离即点到点的距离，

若点到直线的距离与到点的距离相等，根据抛物线定义，

则动点的轨迹为在平面的抛物线，故D正确.

故选：C.

【点睛】思路点睛：考查平面上点的轨迹，根据动点满足的关系式，在平面上建立平面直角坐标系，用解析法求轨迹是常用方法．

4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（????）

??

A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆

【答案】A

【分析】分析可知，点到直线的距离等于点到点的距离，结合抛物线的定义可得出结论.

【详解】过点在平面内作，垂足为点，连接，

??

在正方体中，平面，平面，则，

因为点P到直线的距离与到直线的距离相等，即，

即点到直线的距离等于点到点的距离，

由抛物线的定义可知，点的轨迹为抛物线.

故选：A.

二、多选题

5．（23-24高二上·河南·期末）已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（????）

A．

B．点到直线的距离为

C．存在点，使得平面

D．动点在一条抛物线上运动

【答案】AD

【分析】建立空间直角坐标系，选项A，利用向量法来证明线线垂直，通过计算得到，即可判断出选项A的正误；选项B，先计算出在方向上的投影向量的模为，再利用点到线的距离的向量法即可得出结果，从而判断出选项的正误；选项C，先求出平面的一个法向量为和，再判断是否存在使，即可判断出选项的正误；选项D，根据条件得出点到直线的距离即点到点的距离，再利用抛物线的定义即可求出结果.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

对于选项A，易知，设，

所以，又，

得到，所以，故选项A正确；

对于选项，因为，所以，又，

则在方向上的投影向量的模为，又，

所以点到直线的距离为，故选项B错误；

对于选项C，设平面的一个法向量为，

由选项A知，，，

由，得到，

取，所以平面的一个法向量为，

由，得到，

所以不存在点，使得平面，故选项C错误；

对于选项D，因为平面平面，所以，

所以点到直线的距离即点到点的距离，又点到直线与直线的距离相等，

即点到点的距离等于点到直线的距离，又面，面，

由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项正确，

故选：AD.

【点睛】关键点晴：本题的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量法来解决线线垂直、点线距离和线面平行，对于选项D，将点线距离转化点到点的距离，再利用抛物线的