2024-2025学年备战高二数学上学期期末-专题09 数列的求和（解析版） 人教A.docx

专题09数列的求和

公式法

一、单选题

1．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（????）

A．13 B．45 C．65 D．130

【答案】C

【分析】由等差数列的求和公式及等差数列的性质求解．

【详解】解：，

故选：C

2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件列方程组求出，从而可求出

【详解】设等差数列的公差为，

因为，，

所以，化简得，

解得，

所以.

故选：B

3．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知函数，满足，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将变形为，再构造等差数列，通过等差数列求和公式计算即可.

【详解】由题意得，，

令，

则是首项为、公差为的等差数列，

则

.

故选：D.

4．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（????）

A．230万元 B．234万元 C．245万元 D．260万元

【答案】C

【分析】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，

这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，利用数列的求和公式即可求解.

【详解】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，

所以这五年投入的资金总额是（万元）；

由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，

所以这五年的旅游总收入是（万元），

所以这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为（万元），

故选：C.

5．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】数列是首项为，公比为的等比数列，然后可算出答案.

【详解】因为，则，

则数列是首项为，公比为的等比数列，

则.

故选：B

6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图是边长为的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形.则前个三角形的外接圆面积之和为（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依据题意把外接圆半径和面积表示为等比数列，再对其求和即可.

【详解】设边长为的正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，

解得R=3

设第个三角形的外接圆半径为，

是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，设第个三角形的外接圆面积为，

而，而所求即为的前项和，

易得，故，

而，故是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，故B正确.

故选：B

二、填空题

7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于．

【答案】

【分析】根据数列的递推关系式，计算出前4项，再计算前4项和；

【详解】，.

当时；

当时；

当时；

所以数列的前4项和等于.

故答案为：.

8．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，，则．

【答案】260

【分析】根据等差数列求和公式求解即可．

【详解】利用等差数列求和公式：可得，

．

故答案为：260.

三、解答题

9．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)写出数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解.

（2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解.

【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，

由题意，，

解得，

所以，

即数列的通项公式为.

（2）由（1）可知，所以.

10．（23-24高二下·广西北海·期末）在等比数列中，已知，.

(1)求公比及数列的通项公式；

(2)求的值.

【答案】(1)或，或

(2)答案见解析

【分析】（1）根据条件得到方程，解得或，再利用等比数列的通项公式，即可求解；

（2）利用（1）中结果及等比数列前项和公式，即可求解.

【详解】（1）因为，，所以，即，解得或，

当时，，

当时，.

（2）由（1）知当时，，

当时，.

倒序相加法

一、单选题

1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（??）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，可得，再根据等比中项的性质可得，又，再利用倒序相加可得解.

【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，

又，可得，

所以，

由，则，所以，

所以，

则，

故