专题21 解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题（解析版）.pdfVIP

专题21解答题及填空题压轴题动点运动轨迹问题（解析版）

模型一动点运动轨迹——直线型

【模型解读】(1)定距离判断直线型路径：当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的路径为直

线．(2)定角度判断直线型路径：当某一动点与定线段的一个端点连接后所成的角度不变时，该动点的路径

为直线．

基本图形：

典例1（2021秋•遂川县期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的一动点

（不与端点A，D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．

（1）当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE＝PC；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．

思路引领：（1）设AP＝x，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，解一元二次方程

求出x的值，证明△APE≌△DCP即可；

（2）设AP＝x，AE＝y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

（1）证明：∵PE⊥PC，

∴∠APE+∠DPC＝90°，

∵∠D＝90°，

∴∠DCP+∠DPC＝90°，

∴∠APE＝∠DCP，又∠A＝∠D＝90°，

∴△APE∽△DCP，

∴=，

设AP＝x，则DP＝3﹣x，又AE＝BE＝1，

∴x（3﹣x）＝1×2，

整理得x2﹣3x+2＝0，

解得，x1＝2，x2＝1，

∵AP＞AE，

∴AP＝2，AE＝PD＝1，

∴△APE≌△DCP（ASA），

∴PE＝PC；

（2）解：设AP＝x，AE＝y，

∵△APE∽△DCP，

∴=，即x（3﹣x）＝2y，

113139

==−2+=−−2+

∴yx（3﹣x）xx（x），

222228

39

∴当x=时，y的最大值为，

28

97

∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为2−=，

88

7

∴BE的取值范围为≤BE＜2．

8

总结提升：本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及二次函

数的解析式的确定以及二次函数的性质，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．

变式练习

1．（2022•呼和浩特模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动

点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中

点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为9．

思路引领：过点M作GH⊥AD交AD于G，交BC于H，证明△EGM≌△FHM，得到MG＝MH，从而

可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EFB∽△∠EFF，求得FF＝18，最后根据

11212

三角形中位线定理可求得答案．

解：如图所示：过点M