专题21 特殊平行四边形的性质与判定综合（解析版）.pdfVIP

专题21特殊平行四边形的性质与判定综合

解题思路

类型一：从平行四边形到特殊平行四边形

类型二：特殊平行四边形间的交叉运用

典例分析

【类型一：从平行四边形到特殊平行四边形】

【典例1】（2020春•濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的

中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝°时，四边形BECD是矩形；

②则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．

【答案】（1）略（2）80°，90°

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝CD，

∴∠OEB＝∠ODC，

又∵O为BC的中点，

∴BO＝CO，

在△BOE和△COD中，，

∴△BOE≌△COD（AAS）；

∴OE＝OD，

∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：①当∠ADE＝80°时，四边形BECD是矩形；

理由：∵∠A＝50°，∠ADE＝80°，

∴∠AED＝50°，

∴∠A＝∠AED，

∴AD＝DE，

∵AB＝CD＝BE，

∴BD⊥AE，

∴∠DBE＝90°，

∵四边形BECD是平行四边形，

∴四边形BECD是矩形；

②当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，

∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，

∴∠AED＝40°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠CBE＝∠A＝50°，

∴∠BOE＝90°，

∴BC⊥DE，

∴四边形BECD是菱形，

故答案为：80，90．

【变式1-1】（2020•金昌）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD

中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

【答案】（1）略（2）

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF，

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO＝FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，

设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，

222

在Rt△ADE中，DE＝AD+AE，

222

∴x＝4+（6﹣x），

解得：x＝，

∵BD＝＝2，

∴OB＝BD＝，

∵BD⊥EF，

∴EO＝＝，

∴EF＝2EO＝．

【变式1-2】（2021春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，

BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延BC到点F，使CF＝BE，连

接DF．

（1）求证：四边形ADFE是矩形；

（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．

【答案】（1）略（2）

【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥DC且AB＝DC，

∴∠ABE＝∠DCF，

在△ABE和△DCF中，，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴AE＝