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数学校本课程：生活中的数学

趣味立体几何

问题一：趣味立体图形

争先恐后

如图所示的立体图形中，有一个面上画了一只展翅飞翔的活泼小鸟，另有一个面上画了

一条口吐水泡的顽皮小鱼．

画鸟的面和画鱼的面，一个在图形的凸出部分，一个在图形的凹进部分．究竟哪个面凸

起在外，哪个面凹陷在内呢？

举目望鸟，觉得画鸟的面向上凸起，画鱼的面凹陷在下．

垂目观鱼，却发现画鱼的面向前凸起，画鸟的面凹陷在后．

再看，鸟儿又飞到上面来了．

再看，鱼儿又冲到前面来了．

看来看去，随着目光往返移动，小动物们争先恐后，往我们身边靠拢，表示热烈欢迎．其

实，造成魔幻动感的关键，并非图中振翼的鸟和摆尾的鱼，而是那几条平平淡淡随随便便的

直线．

这些画在平坦纸面上的直线，适当组合，形成立体感．由于设计精巧，它们形成的不是

单一的一种立体感，而是两种互相对立却又和谐共处的立体感，随着观察角度的变化，产生

不同的凹凸印象，获得动画效果．

立体几何在平淡的外表下，隐含着丰富的变化和趣味．立体几何充满创造性和挑战性．在

立体几何园地里信步漫游，会有许多意外收获．

远近高低各不同

图中的正方体，是一个空心框架，所有的面都无遮无挡．仔细看这幅图。你觉得图中哪

个面远、哪个面近？观察角度是从高处往下看呢，还是从低处往上看？

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在某一瞬间看去，可能觉得面的远近高低关系如图．

而在另一瞬间看去，则可能觉得面的远近高低关系如图．

宋代文学家苏轼在《题西林壁》诗中写道：

横看成岭侧成峰，远近高低各不同．

不识庐山真面目，只缘身在此山中．

一个简单的正方体框架，同样也能产生“远近高低各不同”的奇妙感觉．

在立体几何里，既要画出一个正方体的每一条棱，又不希望在远近高低方面产生错觉，

于是设想在正方体每一个面的正方形边框里都镶嵌了窗玻璃，未被玻璃遮挡的棱画实线，被

遮挡的棱画虚线．这样就能兼顾完整和明确，两全其美．

读者发现

蒋声教授编写的《趣味算术》出版以后，收到黑龙江省的孙洁琳读者寄去的一封特别的

来信．

她在信封上部醒目位置贴了一张纸条，写道：把P82页上的图倒过来看，很长一段时间

之后，你会发现一件很奇妙的事！

上图是《趣味算术》第82页“数木块”问题的原图，将它倒过来以后的模样：

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如果将这一正一反两幅图形对照细看，一定也会发现这件很奇妙的事！

当初《趣味算术》中，绘制这幅插图，原意是用一些同样大小的方木块，堆成原图中的

形状，让读者朋友数数看，这里共有多少木块？

在原图中，木块堆成四级阶梯形：最低处第一级阶梯只有1块木块；第二级阶梯由两层

木块堆成，每层各3块；第三级三层，每层各5块；第四级四层，每层各7块．由此，容易

用加法求出木块总数为50块．

换一种思路看颠倒后的图，可能更有趣味．设想最初是用木块堆成每边4块的正方体，

然后从正方体最上面一层挖去每边3块的正方形，接下来从第二层挖去每边2块的正方形，

最后从第三层挖去1块，剩余木块就成为原图的形状．由此可用减法解答本题，同样得到答

案是50块．

在减法思路中，挖去的那些木块，搬放到哪里去了呢？

远在天边，近在眼前．将原图倒看，仔细看清楚：搬走的木块竟然都藏在这幅图的倒看图形

里！

步步高

一首著名的中国民间乐曲，叫做《步步高》，曲调欢快激昂，给人鼓舞和力量，深受听

众喜爱．曲名“步步高”意味着步步高升，如意吉祥，所以也常被借用作为某些商品的品牌

名称．

在下面的图中，墙壁上写着八个大字：“步步高升，永无止境”。这一句祝福词，通过画

面得到了意味深长的形象表现；沿着图中的阶梯往高处走，每前进一步，就升高一级，步步

高升；往前走了一圈又一圈，高升、高升再高升，只升不降，永无止境．

奇怪呀，奇怪！

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在大楼里，楼上楼下走一圈，返回原地，路程应该有升有降，上升总高度与下降总高度

相同，才能还原．可是，沿着图中阶梯走一圈，一路上坡，只升不降，居然也能返回原地．

是不是一时