（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第11讲 平面向量及其应用 章节总结（原卷版）.docx

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第11讲平面向量及其应用章末题型大总结

题型01平面向量的线性运算及坐标运算

【典例1】在中，点满足为重心，设，则可表示为（????）

A．B．C．D．

【变式1-1】如图，已知两个单位向量和向量与的夹角为，且与的夹角为，若，则（????）

??

A．B．C．1D．

【变式1-2】如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（????）

??

A．B．3C．D．

题型02平面向量的共线及其推论

【典例2】已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）

A．1B．C．2D．

【变式2-1】）已知向量，，若，则的值为.

【变式2-2】在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为.

题型03平面向量的数量积（定值，最值，范围）

方法一：定义法

【典例3-1】已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式3-1】折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（????）

??

A．B．C．D．

【变式3-2】在边长为2的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

方法二：坐标法

【典例3-2】已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【变式3-3】已知向量，，则

【变式3-4】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（????）

A．－2B．－1C．1D．2

方法三：自主建系法

【典例3-3】已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（????）

A．B．C．D．

题型04平面向量的夹角（锐角，钝角，直角）

【典例4】已知向量（1，2），（1，1），若与的夹角为直角，则实数λ＝，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是.

【变式4-1】已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是.

【变式4-2】已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为.

题型05求向量的夹角（定值，最值，范围）

【典例5】在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（????）

A．B．C．D．

【变式5-1】设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为．

【变式5-2】已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（????）

A．B．C．D．

题型06向量的模与距离（定值，最值，范围）

【典例6】（多选）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（????）

A．2B．4C．D．

【变式6-1】已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数x的值为．

【变式6-2】已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于．

题型07平面向量与其它知识的交汇题

【典例7】已知向量，函数．

(1)求的解析式与单调递增区间；

(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围．

题型08利用正（余）弦定理解三角形

【典例8】如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为．

??

【变式8-1】如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC=.

题型09三角形中周长（边）的定值，最值，范围问题

【典例9】在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（????）

A．B．C．