07高数——线性方程组知识点速记.docx

高数

线性方程组线性方程组知识点速记

1、齐次线性方程组

可用矩阵形式表示为Ax=0

其中，A为系数矩阵Am×n=ai

若β?，β?，…，β?是齐次方程组的l个解向量，并且：

(1)β?,β?,?,β?线性无关;

(2)方程组(1-8-4)的任意解向量都是β1,β

结论:若A的秩R(A)=r,则:①当r=n时,方程组只有零解。②当rn时，方程组有无穷多解，这时基础解系含有n--r个解向量。并可按下列方法求基础解系：

设A中的r阶子式方程组与下列方程组同解

可以分别取

x

n--r组数，由此可求得方程组的n--r个解向量，即为方程组的基础解系。

a

若ξ?,ξ?,…,ξ?是齐次方程组4x.=0的xn全基础解系，则齐次线性方程组Ax=0的通解是可用矩阵形式the不常数。Ax=0x

结论：基础解系中，解向量的个数=π(未知数=个数)-R(A)(矩阵A的秩)。

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2、非齐次线性方程组

设常数项b=b1b2?bm

用向量形式表示为x

式中A为系数矩阵，向量αj=a

常用的非齐次线性方程组的解法有克莱姆法则和高斯消元法。

1)克莱姆法则(变量个数较少且|A

若线性方程组Ax=b的系数行列式D=|A

其中D，是将D中的第j列用方程组的常数列替换后得到的n阶行列式。

2)高斯消元法

解方程组Ax=b，最基本的方法是高斯消元法。把方程组写成增广矩阵?=

将增广矩阵?=A|b施行矩阵的初等行变换化为行阶梯形。方程组Ax=b有解的充要条件是矩阵A与增广矩阵?的秩相等RA=R

具体解法如下

根据行阶梯形矩阵的性质，方程组的解有如下的结论

(1)若d???≠

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(2)若d???=0,方程组有解。即

3、线性方程组解的性质

齐次线性方程组

1)设ξ?,ξ?均为齐次线性方程组Ax=0的解,则ξ?+

2)设ξ为方程组Ax=0的解,则kξ(k为任意常数)也是方程组Ax=0的解。

3)若ξ?,ξ?,…,ξ?均为Ax=0的解,则k1ξ1+

4)设A是m×n矩阵,且R(A)=rn,则齐次线性方程组Ax=

5)设ξ?,ξ?,…,ξn-r为方程组Ax=0的一组基础解系，则方程组的通解

x=k1

非齐次线性方程组

1)若y?,y?是方程组Ax=b的解,则y?-

2)设A为m×n矩阵,且R(A|b)=R(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解。

3)若y是方程组Ax=b的解,ξ是Ax=0的解,则y+4

4)若Ax=b,当RA

x

其中y*为非齐次方程组一个解，ξ1,ξ

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