专题2-2 函数性质2：“广义”奇偶性-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）.docx

专题2-2函数性质2：“广义”奇偶性

目录

TOC\o1-3\h\u一、热点题型归纳 1

【题型一】奇偶函数性质 1

【题型二】“广义奇函数”：点（a，b）中心对称 4

【题型三】“广义偶函数”：竖直对称轴 6

【题型四】奇偶性与周期性 9

【题型五】奇偶性与零点 11

【题型六】奇偶性与比大小 14

【题型七】奇偶性与导数 16

【题型八】奇偶性与求参 18

【题型九】抽象函数与奇偶性 21

【题型十】中心对称应用：倒序求和 23

二、真题再现 25

三、模拟检测 31

【题型一】奇偶函数性质

【典例分析】

已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为

A．或 B．1或 C．或2 D．或1

【答案】A

根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.

【详解】解：已知，①且，分别是上的偶函数和奇函数，

则，得：，②。①+②得：，

由于关于对称，则关于对称，为偶函数，关于轴对称，

则关于对称，由于有唯一零点，

则必有，，即：，

解得：或.故选：A.

【提分秘籍】

基本规律

奇偶性

(1)奇偶函数的性质

①偶函数?f(－x)＝f(x)?关于y轴对称?对称区间的单调性相反；

②奇函数?f(－x)＝－f(x)?关于原点对称?对称区间的单调性相同；

③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论f(0)＝0；

(2)奇偶性的判定

①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；

②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．

(2)常见奇函数

①f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1) ②f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b) ③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝loga(eq\r(,x2＋1)＋x)

f(x)＝sinx，f(x)＝tanx等等；

【变式演练】

1.若函数对任意的，总有恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，所以函数为定义域上奇函数，又因为所以函数为定义域上减函数，因此不等式，

从而，选A.

2.设函数，若，满足不等式，则当时，

的最大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此

,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.

3.已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（???????）

A．B．C． D．

【答案】D

【分析】设，由奇偶性的定义及性质可得是R上的奇函数，且是R上的增函数，然后分、和三种情况讨论即可求解.

【详解】解：设，因为，

所以是R上的奇函数，又时，在上单调递增，所以在R上单调递增，且有唯一零点0，

所以的图像一定经过原点，当时，与的图像相同，不符合题意．

当时，是R上的奇函数，且在上单调递增，所以与的图像可能为选项C；

当时，若，所以与的图像可能为选项A或B.

故选：D．

【题型二】“广义奇函数”：点（a，b）中心对称

【典例分析】

定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先结合题中条件得出函数为减函数且为奇函数，由，可得出，化简后得出，结合可求出，再由结合不等式的性质得出的取值范围.

【详解】由知此函数为减函数.

由函数是关于的“中心捺函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递减，

于是得，.

，.

则当时，令m=x，y=n则：

问题等价于点（x，y）满足区域，如图阴影部分，

由线性规划知识可知为（x，y）与（0，0）连线的斜率，

由图可得，，故选C.

【提分秘籍】

基本规律

对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.

【变式演练】

1.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（????????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由得出函数的图象关于点成中心对称以及函数

的周期为，由函数为奇函数得出，并由周期性得出

，然后作出函数与函数的图象，列举前个交点的横坐标，结合第个交点的横坐标得出实数的取值范围．

【详解】由可知函数的图象关于点成中心对称，

且，所以，，

所以，函数的周期为，

由于函数为奇函数，则，则