【高考数学】题型31___对数单身狗、指数找朋友.pdf

【⾼考数学】

题型31对数单身狗、指数找朋友

【方法点拨】

对数单身狗，指数找朋友：

①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，

这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了

多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身

狗”.

g(x)

由f(x)lnxg(x)0lnx0（这里设f(x)0），则

f(x)



g(x)1g(x)

lnx不含超越函数，求解过程简单.

f(x)xf(x)

②在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让

指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求

出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，

我们形象的称之为“指数找朋友”.



xf(x)f(x)f(x)f(x)

由ef(x)01x0，则1xx是一个多项式函

eee

数，变形后可大大简化运算.

【典型题示例】

x213

1f(x)eaxxx≥0fx≥x+1a.

例已知函数，当时，（），则的取值范围是

2

7e2

【答案】,

4

xxxx

f(x)eg(x)e·h(x)[e·h(x)]′e·[h(x)

【分析】遇到＋的形式变形为，其求导后的结果是＝＋

h′(x)]，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.

13132x

f(x)x1(xaxx1)e1.

【解析】等价于

22

132x

设函数g(x)(xaxx1)e(x0)，则

2

13232