最优化理论与方法——牛顿法.pdf

牛顿法简介

摘要：牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，

有内在函数可以直接使用。结合着matlab可以对其进行应用，求解方程。

关键词：牛顿法，Goldfeld等人修正牛顿法,matlab实现

1介绍：

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相

对应的是直接法，即一次性解决问题。但多数方程不存在求根公式，因此求解根

非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速

度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行

重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它

的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下3个方面的工作：

1，确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间

接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

2，建立迭代关系式。所谓迭代关系式，是指如何从变量的前一个值推出下一

个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使

用递推或倒推的方法来完成。

3，对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须

考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复下去。迭代过程的控制通常可分为两

种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的

迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭

代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

Newton’smethod-Newton-Raphson

牛顿迭代法（）又称为牛顿拉夫逊方法（

method,17,

）它是牛顿在世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法

其基本思想是利用目标函数的二次Taylor展开，并将其极小化。牛顿法使用函数

fx的泰勒级数的前面几项来寻找方程fx0的根。牛顿法是求方程根的重要



方法之一，其最大优点是在方程fx0的单根附近具有平方收敛，而且该法还



可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性

收敛。

牛顿法的几何解释：

*

xx

方程fx0的根可解释为曲线yfx与轴的焦点的横坐标。如下图：



1

*

xxxP

设是根的某个近似值，过曲线yfx上横坐标为的点引切线，并

kkk

*

x

将该切线与轴的交点的横坐标作为的新的近似值。鉴于这种几何背景，

xx

k1

牛顿法亦称为切线法。

2牛顿迭代公式：