偏导数与全微分.pptVIP

*/28*/28运行时,点击按钮“证明”,或“(证明略)”,将显示定理的证明过程,证明结束自动返回.*****§6.4偏导数与全微分二、全微分【偏导数的定义】【二元函数在一点处的偏导数】一、偏导数(2)【二元函数在区域内的偏导数】注意求偏导的方法！偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u=f(x,y,z)在(x,y,z)处壹贰(3)【多元函数的偏导数】01解法103在点(1,2)处的偏导数.05先代后求再代02解法204先求后代例1.求不存在．【解】例7.9例7.10例7.110102030405求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；06［解］07［例如］082.【有关偏导数的几点说明】【解】按定义可知：【例7.12】一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，010302(3).【偏导数存在与连续的关系】但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在,故不连续).偏导数存在【思考题】连续偏导数存在.【结论】可偏导连续连续.(4).【偏导数的几何意义】如图(复习:反函数求导法则的几何意义)【几何意义】01复习02一元函数03在04可微05微分06即07全微分【偏增量与偏微分】二元函数对x和对y的偏微分二元函数对x和对y的偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系得【全增量的概念】即A【定义】B3.【全微分定义】函数可微的充分条件与必要条件【可微的必要条件】即：【定理7.2】连续事实上01可微02030405⑵可导与可微的关系:①一元函数：在某点的导数存在微分存在．②多元函数：各偏导数存在全微分存在．【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。即可微可偏导【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出但它不一定是函数的全微分.但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。习惯上，记全微分为1全微分的定义（或叠加原理）可推广到三元及三元以上函数2全微分符合叠加原理．即：全微分=各偏微分之和3【注】42.【可微的充分条件】验证01例7.1402偏微分在近似计算中的应用。03例7.15（即是定义）【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需043.【充要条件】多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导极限存在*/28*/28*运行时,点击按钮“证明”,或“(证明略)”,将显示定理的证明过程,证明结束自动返回.******