例1求一可逆矩阵P把.pptVIP

例1求一可逆矩阵P,把logo化成对角矩阵.解①由|A－λE|=0,求A的全部特征值.

～～

例2设矩阵A与B相似,其中01求x和y的值,解(1)因为A∽B,所以B的主对角线元素是A的特征值.因此有02

010204～得基础解系:由于A∽B,所以A的特征值为

～～01得基础解系:0203得基础解系:04当λ2＝2时，

令可逆矩阵01即为所求.02例3设矩阵03

问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵，并求出P和相应的对角阵。01解由02

01～02当k=0时,上式变为03～04对应特征向量可取为:

～01～02对应特征向量可取为:03

因此,当k=0时,令从上面的讨论和例题可知,A没有重特征值,则A必可对角化,而当A有重特征值时,就不一定有n个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化.上次课讲的二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量,所以该方阵不能对角化.而在本节例1中A也有二重特征值,但却能找到3个线性无关特征向量.所以例1中A能对角化.例3的讨论也说明不是所有方阵都能对角化.

一个方阵具体什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题,我们对此不作一般性的讨论,而仅讨论当A为实对称矩阵的情形.

作业:162页5,6,8。