（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第01讲 基本不等式求最值问题（教师版）.docxVIP

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复习01讲基本不等式求最值问题

①直接法求最值

②常规凑配法求最值

③消参法求最值

④“1”的代换求最值

⑤求商式的最值

★⑥柯西不等式求最值

一、基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.

其他变形：

①(沟通两和与两平方和的不等关系式)

②(沟通两积与两平方和的不等关系式)

③(沟通两积与两和的不等关系式)

④重要不等式串：即

二、常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号成立.

三、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。

4.扩展：，当且仅当时，等号成立.

①直接法求最值

策略方法

直接利用基本不等式求解，注意取等条件

【题型精练】

【例1】若，则的最小值为（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据对数运算法则可得，继而利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】因为，所以且，所以，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选：B.

【变式1-1】若，，且，则的最大值是（????）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于，则，当且仅当时等号成立.故选：B

【变式1-2】若，则的最大值是（????）

A．B．4C．8D．16

【答案】B

【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：B.

【变式1-3】已知正数，满足，则的最大值为．

【答案】

【分析】利用基本不等式求得的最大值.

【详解】因为，所以，

当且仅当时，等号成立．故的最大值为4．故答案为：

【变式1-4】用长度为米的材料围成一个矩形场地，场地中间用该材料加两道与矩形的边平行的隔墙，若使矩形的面积最大，则隔墙的长度是米．

【答案】

【分析】设隔墙的长度为（），矩形面积为，求得矩形面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积最大时隔墙的长度.

【详解】设隔墙的长度为（），矩形面积为，则另外一边长为，

则，当且仅当，即时，最大．

故答案为：

②常规凑配法求最值

策略方法

1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2．注意验证取得条件．

【例2】函数的最小值为（????）

A．2B．5C．6D．7

【答案】D

【分析】由基本不等式即可求解.

【详解】由可得，所以，

当且仅当，即时等号成立，故选:D

【变式2-1】已知，则的最小值是（????）

A．6B．8C．10D．12

【答案】C

【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.

【详解】由，则，

当且仅当时等号成立，故最小值为.

故选：C

【变式2-2】已知，则的最大值为．

【答案】

【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案.

【详解】因为，所以，则，

当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．

故答案为：.

【变式2-3】若，则的最大值是.

【答案】

【分析】先求的取值范围，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由得，，，

因为，，所以利用基本不等式可得，

整理得，即，即，当且仅当即时，等号成立，

所以.故当时，的最大值为.

故答案为.

③消参法求最值

策略方法

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

【例3】已知，且，则的最小值为（????）

A．1B．2C．D．

【答案】C

【分析】变形得到，由基本不等式求出最值.

【详解】由得，故，

当且仅当时，等号成立.故选：C

【变式3-1】已知实数，满足，且，则的最小值是（????）

A．33B．26C．25D．21

【答案】C

【分析】由题意可得，则，运用换元法，令，转化为的