（复习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第03讲 不等式中的恒成立（有解）问题（教师版）.docxVIP

第PAGE1页共

第PAGE1页共NUMPAGES29页

第03课不等式中的恒成立（有解）问题

①基本不等式恒成立问题

②函数不等式恒成立（有解）问题

③一元二次不等式恒成立（有解）问题

一、结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】

（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

三、其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

五、其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．

①基本不等式恒成立问题

【例1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】将问题化为，利用基本不等式求左侧的最小值，注意取值条件，即可得参数范围.

【详解】由题意，只需在时即可，又，则，

故，当且仅当时等号成立，故，所以，即.故选：A

【变式1-1】若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】变换，设，均值不等式计算最值得到答案.

【详解】不等式可化为，，令，由题意可得，

，当且仅当，即时等号成立，，所以实数a的取值范围为.故选：C.

【变式1-2】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围.

【详解】当时，由，可得，则，

因为，当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，当时，的最大值为，故.故选：A.

【变式1-3】设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式，建立了不等式，可得答案.

【详解】由题意可知，则，

当且仅当，即，等号成立；由题意可得，解得.故选：C.

【变式1-4】设，若恒成立，则的最大值为（????）

A．16B．2C．8D．1

【答案】C

【分析】根据条件推出，即可将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值，结合不等式恒成立即得答案.

【详解】因为，故，

则，

当且仅当，即时取得等号，由于恒成立，故，

即的最大值为8，故选：C.

②函数不等式恒成立（有解）问题

【例2】若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】变换，设，均值不等式计算最值得到答案.

【详解】不等式可化为，，令，由题意可得，

，当且仅当，即时等号成立，，所以实数a的取值范围为.故选：C.

【变式2-1】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（????）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），所以．故选：A．

【变式2-2】设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（????）

A．B．