2025高考数学一轮复习-7.7-利用空间向量求空间距离-专项训练【含答案】.docxVIP

2025高考数学一轮复习-7.7-利用空间向量求空间距离-专项训练

INCLUDEPICTUREB组.TIFINCLUDEPICTUREE:\\大样\\人教数学\\B组.TIFINET【B级能力提升】

1.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=

AB=6,点E是棱PB的中点.

求直线AD与平面PBC的距离.

2.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E是线段AB的中点.

(1)证明:BD⊥平面AA1C1C;

(2)若P是线段BC上的动点,求点P到平面B1DE的距离的取值范围.

3.如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1的体积为4,点A到平面BC1D的距离为63.

(1)求△BC1D的面积;

(2)若AB=BC=2,动点E在线段DD1上移动,求△AEC1面积的取值范围.

4.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=2,G为CD的中点,E,F是棱PD上两点(F在E的上方),且EF=2.

(1)若DE=22

(2)当点F到平面AEC的距离取得最大值时,

求DE的长.

INCLUDEPICTUREB组.TIFINCLUDEPICTUREE:\\大样\\人教数学\\B组.TIFINET【C级应用创新练】

5.如图,在四棱锥PABCD中,AC∩BD=O,底面ABCD为菱形,边长为2,

PC⊥BD,PA=PC,且∠ABC=60°,异面直线PB与CD所成的角为60°.

(1)求证:PO⊥平面ABCD;

(2)若E是线段OC的中点,求点E到直线BP的距离.

6.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,四边形AA1B1B为矩形,AB=3,BC=5.

问:在线段BC上是否存在点P,使得点P到平面A1C1B的距离为2?若存在,求BP的值;若不存在,请说明理由.

参考答案

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1.解:如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴正半轴,建立空间直角坐标系.

设D(0,a,0),则B(6,0,0),C(6,a,0),P(0,0,6),E(3,0,3).

因此,AE→=(3,0,3),BC→=(0,a,0),

则AE→·BC→=0,AE→

所以AE⊥BC,AE⊥PC,

又BC∩PC=C,BC,PC?平面PBC,

所以AE⊥平面PBC.

由AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,

得AD∥平面PBC.故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即|AE→|=32

2.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,

所以BD⊥AC,

因为AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,

所以AA1⊥BD,

因为AC∩AA1=A,AC,AA1?平面AA1C1C,

所以BD⊥平面AA1C1C.

(2)解:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),E(2,1,0),B1(2,2,2),

设P(a,2,0)(0≤a≤2),则DP→=(a,2,0),DE→=(2,1,0),

设平面B1DE的法向量为n=(x,y,z),

由DE→·

令x=1,

则y=-2,z=1,

则n=(1,-2,1).

设点P到平面B1DE的距离为h,

所以h=|DP→·n||n|=|a-4|6

3.解:(1)由题知VA?BC1D=VC

设点A到平面BC1D的距离为h,则h=63

因为VA?BC1D

所以S△BC1D

即△BC1D的面积为6.

(2)由题知AB=BC=2,AA1=1,

以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),C1(0,2,1),

设E(0,0,t)(0≤t≤1),

则EA→=(2,0,-t),A

则直线AC1的单位方向向量为

u=AC1→|AC1

则点E到直线AC1的距离为

d=EA→2-(EA→·u)

所以△AEC1的面积S△AEC1=12AC1·d=3

所以△AEC1面积的取值范围为[322,

4.(1)证明:连接BD交AG于H,连接HE,

因为G为CD的中点,四边形ABCD是正方形,

所以GD∥AB,GD=12AB,所以DHHB=GDAB

因为DE=22,EF=2,所以DEEF=DHHB

所以BF∥EH,

因为BF?平面AEG,EH?平面AEG,

所以BF∥平面AEG.

(2)解:在四棱锥PABCD中,因为EF=2,

所以△EFC的面积为定值,

又点A到平面EFC的距离为定值,所以三棱锥AEFC的体积为定值