2024-2025学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年北京市中国人民大学附中高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本大题共10小题，共40分。

1.空间直角坐标系中，A(1,?2,3)，B(3,0,?1)，则AB=(????)

A.(?2,?2,4) B.(4,?2,2) C.(2,2,?4) D.(?4,2,?2)

2.已知直线m，n，l，平面α，β，下列正确的是(????)

A.若l∩α=P，n?α，则l与n异面

B.若m//n，n?α，则m//α

C.若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥α

D.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

3.在四面体P?ABC中，点Q是AB靠近B的三等分点，记PA=a，PB=b，PC=c

A.c?23a+13b

4.若圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积时，圆锥轴截面顶角的度数为(????)

A.π3 B.π2 C.π

5.已知直线m，n，平面α，m/?/n，m?α，那么“n/?/α”是“m/?/α”的(????)

A.充分必要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.在空间直角坐标系中，直线l的方向向量m=(1,0,2)，点A(0,1,0)在直线l上，点B(?1,2,3)到直线的距离是(????)

A.5 B.6 C.7

7.一个正棱锥，其侧棱长是底面边长的710，这个正棱锥可能是(????)

A.正三棱锥 B.正四棱锥 C.正五棱锥 D.正六棱锥

8.正三棱锥P?ABC中，∠APB=π6，PA=2，Q为棱PA的中点，点M，N分别在棱PB，PC上，三角形QMN周长的最小值为(????)

A.2 B.3 C.3

9.歇山顶是中国古代建筑传统屋顶之一，它有一条正脊、四条垂脊和四条戗脊，将歇山顶近似看成图中的多面体，其上部为直三棱柱ABC?A1B1C1，AB=AC=22，BC=4，AA1=18，四边形EFF1E1为矩形，平面EFF1E1//平面BCC1B1

A.4 B.17 C.32

10.如图，正四面体A?BCD的棱长2，过棱AB上任意一点P做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记AP=x(0x2)，截面上方部分的体积为V(x)，则函数y=V(x)的图像大致为(????)

A.B.

C.D.

二、填空题：本大题共5小题，共25分。

11.已知A(0,2,3)，B(1,4,6)，C(2,2,5)，D(0,m,n)，AB//CD，则m+n=______．

12.已知平面α，β，直线n，给出三个语句：①α⊥β，②n⊥α，③n//β.从这三个语句中选取两个做条件，剩下一个做结论，构成一个真命题，该命题是：若______，则______.(只需填写序号)

13.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA=AB=2，∠DAB=60°，PA⊥平面ABCD，Q点在四棱锥P?ABCD表面上，且DQ⊥AC，则PC与底面ABCD的夹角为______；Q点所形成的轨迹长度是______．

14.如图1，在正方体ABCD?A1B1C1D1内，正方形EFGH中心与正方体中心重合，从前面观察如图2所示，若棱长

15.如图，O是正方形ABCD内一动点(不包括边界)，PO⊥平面ABCD于O，AB=2，PO=1，PA=PD，给出下列四个结论：

①四棱锥P?ABCD的体积是定值；

②设平面PAD与平面PBC交于l，则l//BC；

③四棱锥P?ABCD的表面积既有最小值又有最大值；

④存在点O，使得四棱锥P?ABCD的四个侧面两两垂直．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题：共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.已知空间四点A(0,2,3)，B(1,4,6)，C(1,2,5)，D(0,m,n)，AC⊥BD．

(Ⅰ)求|AB?AC|和n的值；

(Ⅱ)若点D在平面

17.如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/?/CD，CD⊥AD，其中AD=CD=2，DD1=4，AB=1，E是BC的中点，F是AA1的中点．

(Ⅰ)AE//平面

18.如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，PD=AB=AC=2PA．

(Ⅰ)若AD=DC，求证：平面PAD⊥平面PCD；

(Ⅱ)若AD=DC，PB中点为E，试问在棱CD上是否存在点Q，使PQ⊥AE，若存在，指出点Q位置，若不存在说明理由；

(Ⅲ)若PA=2，PD与平面PBC成角大小30°，求DC

19.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=π2，AB=