偏微分方程的数值方法.pptVIP

偏微分方程的数值方法偏微分方程定解问题，是表述自然与工程技术领域中各种现象最重要的数学工具之一，应用十分广泛。01遗憾的是，绝大多数偏微分方程的解不能以实用的解析形式来表示，因而其数值解就显得尤为重要。02虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到18世纪，一些偏微分方程的数值方法也在20世纪初得到研究，但是，它们发展成为一门理论上严谨，实用上有效的学科，还是20世纪50年代以来的事，这主要得益于电子计算机的诞生。双曲型方程（如波动方程）3椭圆型方程1抛物型方程（如热传导方程）2偏微分方程的分类三种类型的边界条件：（1）狄里赫利型边界条件（第一类边界条件）：边界上的函数值已知；（2）纽曼型边界条件（第二类边界条件）：边界上函数的法向导数值已知或是一种连续函数。（3）混合边界条件：边界条件为第一类边界条件和第二类边界条件的线性组合。边界条件0102差分方法有限元方法共同点：都是将连续的偏微分方程进行离散，采取适当形式将其化为线性代数方程组，通过求解代数方程组给出其数值解。数值求解偏微分方程定解问题的主要方法差分方法01无论是常微分方程还是偏微分方程，初值问题或边值问题，椭圆型、双曲型或抛物型二阶线性方程，以及高阶方程或非线性方程，通常均可利用此法将它们转化为代数方程组，再借助计算机求其数值解。02目前，对于线性偏微分方程定解问题，差分方法已经形成了较成熟的算法格式，对于非线性问题，有效的算法正在迅速发展之中。把求解的区域划分成网格；把求解区域内连续的函数用网格节点上的离散的数值代替。网格的划分有不同的方法，有正方形和三角形网格等划分方法。12差分方法的准备工作差分方法的基本概念

--用差商代替导数差分方法的基础，即泰勒级数展开：一阶导数的差分表达式：二阶导数的差分表达式：STEP2STEP1缺点：高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一步都需要更多的计算时间。优点：要得到相同精度的解，如果使用高阶差分格式，网格点的总数可以更少一些；高阶差分格式可以给出质量更高的解。随着精度的不断提高，可以推导出无穷无尽的差分表达式。对于高阶精度公式，其优点、缺点：例如，方程有两个自变量x和t，设t是用于推进求解的变量。i是x方向的标号，n是t方向的标号。设第n层上的数值已知，求第n+1层上的数值。差分方程的显式方法与隐式方法CBA时间导数x方向导数差分方程：显式方法隐式方法隐式格式可化成三对角形式的方程组。整理隐式格式，将未知量放在等式左边，已知量放到右边，得显式方法：每一个差分方程只包含一个第n+1层的未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方式显式地求解。显式方法是最简单的方法。隐式方法：包含第n+1层上的多个未知量，必须形成一个代数方程组。由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。比显式方法需要更多、更复杂的计算。