2024年中考数学几何模型归纳讲练 04 三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型 教师与学生版.docxVIP

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专题04三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：高分线模型

条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=

例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依据直角三角形，即可得到，再根据,平分,即可得到的度数,再根据进行计算即可．

【详解】解：,,

又,平分,，

,故选：C．

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．

例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）

①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；

③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；

②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；

③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；

④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．

例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．

【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是3cm．

【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE＝CE，再表示△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可．

【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴S△ACB=AB?AC＝BC?AD，

∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的长度为cm；

（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，

∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），

即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．

【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．

例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．

????

【答案】(1)(2)(3)不变，理由见解析

【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据高线的性质得到，从而求出，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和求出，根据角的和差得到结果；（3）过作于，结合（2）知，证明，得到，即可证明．

【详解】（1）解：∵，，∴，

∵平分，∴，

∵是高，∴，∵，∴，∴；

（2），

证明如下：∵平分，∴，

∵，∴，

∴；

（3）不变，理由是：如图，过作于，由（2）可知：，

??

，，，，，，

，．

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．

模型2：双垂直模型

结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。

例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据三角形的外角即可得．

【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，

∵是边上的高，∴，∴，故选