2024年中考数学几何模型归纳讲练 15 全等与相似模型-手拉手模型 教师与学生版.docxVIP

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专题15全等与相似模型-手拉手模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型

【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

1）双等边三角形型

条件：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

图1图2

2）双等腰直角三角形型

条件：如图2，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。

3）双等腰三角形型

条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。

图3图4

4）双正方形形型

条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。

结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。

例1．（2022·北京东城·九年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到，连接．

（1）用等式表示与CP的数量关系，并证明；

（2）当∠BPC＝120°时，①直接写出的度数为；

②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

【答案】（1），理由见解析；（2）①60°；②PM＝，见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：从而得到，可证得，即可求解；

（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由，可得，即可求解；②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．进而得到．根据①可得，可证得，从而得到．再由为等边三角形，可得．从而得到，即可求解．

【详解】解：（1）．理由如下：在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

由旋转可知：??∴即

在和△ACP中∴．∴．

（2）①∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．

∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．

∵．∴，∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即；

②PM＝．理由如下：如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．

∵M为BC的中点，∴BM＝CM．

在△PCM和△NBM中∴△PCM≌△NBM（SAS）．

∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．∴．

∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．∴∠PBC＋∠NBM＝60°．即∠NBP＝60°．

∵∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．

∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即．∴．

在△PNB和中∴（SAS）．∴．

∵??∴为等边三角形，

∴．∴，∴PM＝．

【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．

例2．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．

(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋