2024年中考数学几何模型归纳讲练 17 全等与相似模型-对角互补模 教师与学生版.docxVIP

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专题17全等与相似模型-对角互补模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型

对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。

1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.

结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）

条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.

结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.

3）“等边三角形对120°模型”（1）

条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.

结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

4）“等边三角形对120°模型”（2）

条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，

结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.

5）“120°等腰三角形对60°模型”

条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。结论：①PB+PC=PA；

6）“2α对180°-2α模型”

条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°结论：OP平分∠AOB

注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。

7）“蝴蝶型对角互补模型”

条件：AP=BP,∠AOB=∠APB结论：OP平分∠AOB的外角。

例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，

∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．

∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴结论①正确．

设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE=a－b．

∴．

∴．∴结论②正确．

如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．

∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，

∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．

∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④错误．

∵△EDA≌△FDC，∴．∴结论③错误．

综上所述，结论①②正确．故选C．

例2．（2022辽宁九年级期末模拟）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC；

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【答案】图②中OD＋OE＝OC成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC

【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果，解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论．

【详解】解：图②中OD＋OE＝OC成立．

证明：过点