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专题3-2一轮压轴小题导数技巧:求参
目录
TOC\o1-3\h\u【题型一】求参1:基础讨论型 1
【题型二】求参2:分离参数型 5
【题型三】求参3:零点型 6
【题型四】求参4:构造函数型 10
【题型五】求参5:“分函最值”基础型 12
【题型六】求参6:“分函值域子集”型 14
【题型七】求参7:保值函数 16
【题型八】求参8:分离参数之“洛必达法”与放缩型 18
【题型九】求参9:整数解求参 21
【题型十】求参数10:隐零点型 23
【题型十一】求参11:复合函数(嵌套函数)型 25
【题型十二】求参12:绝对值型 28
二、真题再现 31
三、模拟检测 35
【题型一】求参1:基础讨论型
【典例分析】
若对任意x∈(0,+∞),不等式e2x﹣mln(2m)﹣mlnx≥0恒成立,则实数m的最大值(???????)
A. B.e C.2e D.e2
【答案】B
【分析】令=e2x﹣mln(2m)﹣mlnx,求导,由时,,,存在,有,则,根据不等式e2x﹣mln(2m)﹣mlnx≥0恒成立,则,整理转化为,令,用导数法得到在上是减函数,再根据,解得,再由求解.
【详解】令=e2x﹣mln(2m)﹣mlnx,所以,要ln(2m)有意义,
则,当时,,所以存在,有,
当时,,当时,,所以,
又,所以,,
所以,
,因为不等式e2x﹣mln(2m)﹣mlnx≥0恒成立,
所以令,
,所以在上是减函数,又,
当时,,即,又,所以,
所以在时是增函数,所以,
所以实数m的最大值是.故选:B
【提分秘籍】
基本规律
无论大题小题,分类讨论求参是导数基础,也是复习训练重点之一:
1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础,也是学生日常训练的重点。
2.讨论点的寻找是关键。
3.一些题型,可以适当的借助端点值来“压缩”参数的讨论范围
【变式演练】
1.已知函数,,若有最小值,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】对函数求导得出,由题意得出函数在上存在极小值点,然后对参数分类讨论,在时,函数单调递增,无最小值;在时,根据函数的单调性得出,从而求出实数的取值范围.
【详解】,,
构造函数,其中,则.
①当时,对任意的,,则函数在上单调递减,
此时,,则对任意的,.
此时,函数在区间上单调递增,无最小值;
②当时,解方程,得.
当时,,当时,,
此时,.
(i)当时,即当时,则对任意的,,
此时,函数在区间上单调递增,无最小值;
(ii)当时,即当时,,当时,,
由零点存在定理可知,存在和,使得,
即,且当和时,,此时,;
当时,,此时,.
所以,函数在处取得极大值,在取得极小值,
由题意可知,,
,
可得,又,可得,构造函数,其中,
则,此时,函数在区间上单调递增,
当时,则,.
因此,实数的取值范围是,故选C.
2.若关于的不等式对一切正实数恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
构造函数,将原不等式转化为求解函数的最小值,通过导数判断函数的单调性研究函数的最值,得到,再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】
解:设,则对一切正实数恒成立,即,
由,令,则恒成立,所以在上为增函数,
当时,,当时,,则在上,存在使得,
当时,,当时,,故函数在上单调递减,在,上单调递增,
所以函数在处取得最小值为,
因为,即,所以恒成立,即,
又,当且仅当,即时取等号,故,所以.故选:C.
3.已知函数,,若有最小值,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
对函数求导得出,由题意得出函数在上存在极小值点,然后对参数分类讨论,在时,函数单调递增,无最小值;在时,根据函数的单调性得出,从而求出实数的取值范围.
【详解】
,,
构造函数,其中,则.
①当时,对任意的,,则函数在上单调递减,
此时,,则对任意的,.
此时,函数在区间上单调递增,无最小值;
②当时,解方程,得.
当时,,当时,,
此时,.
(i)当时,即当时,则对任意的,,
此时,函数在区间上单调递增,无最小值;
(ii)当时,即当时,,当时,,
由零点存在定理可知,存在和,使得,
即,且当和时,,此时,;
当时,,此时,.
所以,函数在处取得极大值,在取得极小值,
由题意可知,,
,
可得,又,可得,构造函数,其中,
则,此时,函数在区间上单调递增,
当时,则,.
因此,实数的取值范围是,故选C.
【题型二】求参2:分离参数型
【典例分析】
已知不等式对恒成立,则取值范围为(???????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】将问题转化为对恒成立,构造函数,进而通过导数方法求出函数的最小
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