人教版高二下学期数学(必修二)《7.3复数的三角表示》同步测试题有答案.docx

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人教版高二下学期数学(必修二)《7.3复数的三角表示》同步测试题有答案

考试时间：60分钟；满分：100分

学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．复数的三角表示式

(1)复数的三角表示式

如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.

(2)辅角的主值

显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是

+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在02π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz2π.

(3)三角形式下的复数相等

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数乘法运算的三角表示

根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到

=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，

即(+i)(+i)=[(+)+i(+)].

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

(2)几何意义

两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量

绕点O按逆时针方向旋转角(如果0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.

3．复数除法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数除法运算的三角表示

设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i

(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐

角减去除数的辐角所得的差.

(2)几何意义

如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按

顺时针方向旋转角(如果0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.

【题型1求辅角主值】

【方法点拨】

求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角

形式，再进行求解.

【例1】（2022秋·辽宁·高二开学考试）z=1?3i（i是虚数单位），则z的辐角主值argz

A．53π B．116π C．

【变式1-1】（2023·高一课时练习）2的辐角主值为（????）．

A．π2 B．3π2 C．0

【变式1-2】（2022·高一课时练习）复数cosπ4?

A．π4 B．3π4 C．5π4

【变式1-3】（2022·高一课时练习）设πθ5π4，则复数cos2θ+

A．2π?3θ B．3θ?2π C．3θ D．3θ?π

【题型2复数的代数形式与三角形式的互化】

【方法点拨】

复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.

将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.

【例2】（2022·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式

(1)tanθ+

(2)1+cos

【变式2-1】（2022·高一课时练习）化下列复数为三角形式．

(1)－1＋3i；

(2)1－i；

(3)2i；

(4)－1．

【变式2-2】（2022·高一课时练习）将下列复数化为三角形式：

(1)sin5π

(2)cosα?

【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：

(1)?3

(2)?1?3

(3)?2cos

(4)2sin

【题型3三角形式下的复数的乘、除运算】

【方法点拨】

复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；

复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；

复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.

【例3】（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(cosx+isinx)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算2cos75°+i

A．?62+

C．22?6

【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知复数z1＝2cosπ12+isinπ12，z2＝3cos

A．6cosπ4

C．3－3i D．3＋3i

【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z=a