第三节 扭转轴的应力-壁厚 t 远小于其平均半径 r 0 t r 0 10 的圆筒称为 薄壁圆筒 画上一些圆周线和纵向线然后在圆筒两端平面内作用一对外力偶后圆筒发生扭转 变形-1735394223962.pptx

第三节扭转轴的应力壁厚t远小于其平均半径r0（t≤r0/10）的圆筒，称为薄壁圆筒。一、薄壁圆筒扭转画上一些圆周线和纵向线，然后在圆筒两端平面内作用一对外力偶后，圆筒发生扭转变形。扭转1.薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力

在弹性变形范围内，可看到如下现象：1）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形状、大小及它们相互之间的距离都没有变化。2）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变成了平行四边形，即直角发生了改变。但各边的长度没有改变。扭转根据以上现象，可以得出下面的推论和假设：1）由于各圆周线形状、大小不变，说明代表横截面的圆周线仍为平面。因此可以假设，薄壁圆筒扭转时，变形前为平面的横截面，变形后仍保持平面，这一假设称为平面假设。

2）由于各圆周线之间距离不变，且形状、大小不变，说明圆筒既没有纵向线应变也没有横向线应变，即横截面和纵向截面均没有正应力。3）由于各圆周线仅绕轴线相对转动，使得所有纵向线均有相同的倾角，说明横截面上必有切应力，其方向垂直于半径，大小沿圆周不变。扭转薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力计算公式

2.切应力互等定理扭转上式表明：在互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小相等，方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两平面的交线。这种关系称为切应力互等定理。从薄壁圆筒上绕某点取一微小的正六面体（单元体）。由前面分析可知，单元体上左、右侧面均无正应力，只存在切应力，前、后面为自由面，无应力存在。可以证明在单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，单元体的这种受力状态称为纯剪切应力状态。

3.剪切胡克定律在切应力τ和τ′作用下，单元体的两个侧面将发生相对错动，使原来的长方六面微体变成平行六面微体，单元体的直角发生微小的改变，这个直角的改变量γ称为切应变。切应变的其单位是弧度（rad）扭转当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系，称为剪切胡克定律。比例常数G称为材料的切变模量，它反映材料抵抗剪切变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。

二、圆轴扭转时横截面上的应力扭转从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆轴受扭时横截面上的应力。1.几何变形方面取一圆轴进行扭转试验试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转时的变形一样。

扭转由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改变，只是绕轴线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的距离也保持不变，这一假设称为圆轴扭转的平面假设。按照上述假设，可以认为圆轴扭转时，其横截面就像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。圆轴上任一点的切应变，其大小为

根据剪切虎克定律2.物理方面扭转?称为单位长度扭转角，是扭转角φ沿杆长方向的变化率，对于给定的横截面，其值为一常量。横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离ρ成正比。

扭转圆轴扭转时横截面上各点切应力沿径向的分布规律：?切应力大小沿半径方向呈线性分布，在截面中心处切应力为零，在截面边缘各点切应力最大。?切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向相同。实心圆轴和空心圆轴横截面上切应力的分布情况如图所示。

3.静力学方面扭转圆轴单位长度的扭转角计算公式将上式代入式，得

圆轴扭转时横截面上任一点切应力的计算公式式中，IP为截面对圆心的极惯性矩。扭转横截面上边缘点的切应力最大，其值为式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系数，单位为mm3或m3。令

扭转

?扭转解（1）作扭矩图。（２）计算最大切应力。AB段：BC段：该轴最大切应力位于BC段内任一截面的边缘各点处，即该轴最大切应力为71.3MPa。