5.1.2 导数的概念及其几何意义（教学设计）-高二数学选择性必修第二册（人教A版2019）.docx

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第五章一元函数的导数及其应用

5.1导数的概念及其意义

5.1.2导数的概念及其几何意义

一、教材分析

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念。牛顿从运动物体瞬时速度的刻画发明了导数，莱布尼茨则从曲线上某一点处的切线的斜率的刻画发明了导数。本质上都是解决了瞬时变化率的数学刻画问题，是对函数局部性质的精确量化分析。导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限。导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数性质、解决增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等变化率问题的基本工具。

从微积分的知识体系上看，通常先研究极限及其运算，再用极限来定义导数。但在高中数学课程中，不专门安排极限的有关内容，因此不能直接用极限去定义导数。注意到导数是瞬时变化率的数学表达，而高台跳水运动员的速度和抛物线的切线的斜率是典型的变化率问题。通过这些特殊案例，由平均速度到瞬时速度，由割线的斜率到切线的斜率，就可以用直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念。

用平均速度逐渐逼近瞬时速度、用割线斜率逐渐逼近切线斜率，均渗透着极限的思想。从瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数的概念，蕴含着从具体到抽象、由特殊到一般的思维方法与数学思想。导数的几何意义表明，函数在某点的导数是函数的图象在相应点的切线的斜率，渗透着数形结合、以直代曲的重要数学思想。

通过研究求瞬时速度和切线斜率的这两个例子，再现牛顿和莱布尼茨两位数学家的探索历程，渗透数学文化，激发学生学习数学的热情。极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具，由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数是学生认识极限的窗口，其中呈现的动态逼近一个确定值的过程，可以培养学生的辩证思维，也有利于学生数学抽象、直观想象素养的发展。对导数几何意义的研究，有助于学生理解导数的意义，提升直观想象素养。同时，运用导数定义，求函数在某一点处的导数值，有助于发展学生的数学运算等素养。

二、学情分析

从学生认知层次上分析，主要有物理学习基础与数学学习基础两个方面。具体来说，物理学习基础方面，通过初中、高中物理的学习，学生学会用平均速度近似描述直线运动，对匀变速直线运动的瞬时速度也有一定的直观认识。数学学习基础方面，在高中学习无理指数幂时，学生对极限有一些直观、朴素的认识。在高中函数的学习中，借助函数图象，利用单调性定义、不等式、方程等知识，研究了基本初等函数的主要性质。这些认知基础，对本单元的学习都能起到积极的引领作用。

在本单元的教学中，学生可能遇到的学习障碍，可大致概括为如下“三难”：

一难：难在体会“极限思想”。学生在学习导数之前没有学习过极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程。而学生对极限思想的认识，不可能一蹴而就，需要从典型变化率实例开始，不断加以体会。因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思想，这是第一个教学难点。

二难：难在抽象“导数概念”。导数的概念非常抽象。要抽象出导数概念，除了要体会极限思想，还要舍去“瞬时速度、切线的斜率”两个案例的具体背景，从思想方法和表达形式上归纳出共性。这是第二个教学难点。

三难：难在理解“导数符号”。导数概念的建立过程中，涉及一些全新的符号，如何正确理解这些符号的意义。这是第三个教学难点。

体会极限思想的关键，需要通过“高台跳水运动员的速度”和“抛物线切线的斜率”两个案例，让学生充分经历由“平均变化率”到“瞬时变化率”的全过程.具体来说，要从“数值”和“解析式”两个维度，观察平均速度和割线斜率的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，割线斜率的极限就是切线斜率.在这个过程中，帮助学生体会极限思想，这也是建立导数概念的关键.此外，还应在抽象概括导数的概念、得出导数的几何意义的过程中，以及在利用导数概念及其几何意义求导数、研究客观世界中的变化率问题时，让学生进一步体会极限思想.

抽象导数概念的关键在于以下两点：

①充分经历两个典型案例从平均变化率到瞬时变化率解决问题的过程，感悟解决问题的思想方法，明确结果形式.

②引导学生分析两个典型案例在解决问题的过程与方法、结果形式上的共同特征.具体来说，首先从两个具体案例中概括出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来；然后进一步通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.

理解“导数符号”的关键在于，教学中要通过具体案例进行剖析，使学生不仅能正确理解这些符号，还能准确运用相关符号.

三、教学目标

（一）课程标准要求

①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的