5.3.1++函数的单调性（1）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢?微积分中重要的思想方法——以直代曲h(t)=-4.9t2+4.8t+11利用导数研究函数的单调性.

5.3.1（1）函数的单调性5.3导数在研究函数中的应用

【复习回顾】判断函数单调性的方法有哪些?①.定义法：②.图象法：③.性质法:增+增→增，减+减→减，－增→减，复合函数单调性同增异减

【问题1】观察右面一次跳水的运动轨迹以及其导数的图象，试说明运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？(1)从起跳到最高点：运动员离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)=h(t)0；(2)从最高点到入水：运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)=h(t)0.

【问题2】观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系.xyOy′＝1在(-∞,+∞)上，y′0xyOy′＝2x在(-∞,0)上，f(x)单减在(-∞,0)上，f′(x)0在(0,+∞)上，f(x)单增在(0,+∞)上，f′(x)0xyOf′(x)＝3x2在(-∞,0)上f(x)单增在(-∞,0)上，f′(x)0在(0,+∞)上f(x)单增在(0,+∞)上，f′(x)0xyO在(-∞,0)上f(x)单减在(-∞,0)上，f′(x)0在(0,+∞)上f(x)单减在(0,+∞)上，f′(x)0

【问题3】这种情况是否具有一般性呢？导数f′(x1)在区间上，f′(x)0函数y=f(x)的图象在点(x1,f(x1))处切线的斜率在x=x1处f′(x1)0函数y=f(x)的图象下降，在x=x1附近单调递减切线“左上右下”下降在区间上，f(x)单调递减f?(x1)0f(x)在x1附近↘切线“左上右下”xyO(x2,f(x2))(x1,f(x1))微积分中重要的思想方法——以直代曲

函数的单调性与导数的关系：一般地，函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f′(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0

【思考1】如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性??函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.【思考2】存在有限个点使得f(x)=0,其余点都恒有f′(x)0,则f(x)有什么特性?f(x)仍为增函数.f(x)≥0且f(x)不恒为0例如:对于函数y=x3，y′=3x2.当x=0时，y′=0，当x0时，y′0，而函数y=x3在R上单调递增.充分不必要条件

?②

?CA. B. C. D.?A. B. C. D.C

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利用导数判断函数的单调性的一般步骤：?定义域零点区间正负单调性函数的单调性问题→导数的零点问题（数形结合）

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【小结】判断函数单调性的方法有哪些?①.定义法：②.图象法：?