《随机过程教程》课件.pptVIP

*****************课程概述课程目标本课程旨在介绍随机过程的基本理论和应用，培养学生对随机现象的分析能力。课程内容本课程涵盖随机过程的基本概念、平稳过程、马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动、扩散过程等内容。授课方式课程采用课堂讲授、案例分析、课后作业等方式进行教学。考核方式课程考核方式包括平时作业、期末考试等。随机过程的基本概念定义随机过程是随机变量随时间变化的过程，是一个随时间变化的随机现象的数学模型，描述了随机事件随时间变化的规律。随机变量随机变量是随机过程在某一时刻的值，它是一个随机变量的函数，其值随时间变化而变化。时间随机过程的时间参数可以是离散的，也可以是连续的，分别对应离散时间随机过程和连续时间随机过程。状态空间随机过程的状态空间是指随机变量可能取值的集合，它是随机变量的取值范围。随机变量和随机过程随机变量随机变量是将随机现象的结果用数值来表示的变量。例如，掷骰子的结果就是一个随机变量。随机过程随机过程是指在一定时间或空间范围内，随着时间或空间的变化而随机变化的量。例如，股票价格就是一个随机过程。随机过程的性质平稳性统计特性不随时间推移而变化。例如，均值和方差保持不变。遍历性单个样本轨迹可以代表整个过程的统计特性。可以从一个样本轨迹推断整个过程的性质。马尔可夫性未来的状态仅依赖于当前状态，与过去状态无关。这种特性简化了随机过程的分析和预测。连续性过程的状态随时间连续变化。通常用于描述物理过程的演变。平稳过程11.统计特性不变时间推移，过程的统计特性不改变。例如，均值和方差始终保持一致。22.预测容易由于统计特性不变，更容易预测过程未来行为。33.广泛应用信号处理、金融建模、天气预报等领域广泛应用。44.不同类型根据时间相关性，可分为严平稳过程和弱平稳过程。马尔可夫过程11.记忆性马尔可夫过程仅依赖于当前状态，不考虑过去历史。22.状态转移系统从一个状态转移到另一个状态，概率仅取决于当前状态。33.应用广泛马尔可夫过程在金融、物理、生物等领域都有广泛应用。马尔可夫链状态转移下一个状态仅取决于当前状态，与过去状态无关。概率转移状态之间转移的概率由转移概率矩阵决定。离散时间马尔可夫链通常用于分析离散时间系统。马尔可夫链的特性无记忆性马尔可夫链中，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。状态转移概率每个状态之间存在转移概率，表示从一个状态转移到另一个状态的可能性。平稳性在一定条件下，马尔可夫链可以达到平稳状态，此时状态转移概率不再随时间变化。遍历性马尔可夫链具有遍历性，这意味着从任何初始状态出发，经过足够长的时间后，都可以到达任何其他状态。转移概率矩阵转移概率矩阵是马尔可夫链的核心概念，它定义了状态之间的转移概率。矩阵中的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。例如，矩阵元素Pij表示从状态i转移到状态j的概率。状态分类常返态常返态是指从该状态出发的马尔可夫链在有限时间内回到该状态的概率为1。常返态可以进一步分为正常返态和零常返态。瞬时态瞬时态是指从该状态出发的马尔可夫链在有限时间内回到该状态的概率小于1。瞬时态意味着该状态不会被无限次访问。吸收马尔可夫链吸收状态吸收状态是指一旦进入该状态就无法离开的状态。吸收概率吸收概率是指从任意初始状态最终进入某个吸收状态的概率。平均吸收时间平均吸收时间是指从任意初始状态进入某个吸收状态所需的平均步数。泊松过程事件随机发生泊松过程描述的是时间轴上事件随机发生的现象，事件之间相互独立，且发生的时间间隔服从指数分布。计数过程泊松过程本质上是一个计数过程，记录着在特定时间段内事件发生的次数。应用场景电话呼入量网站访问量机器故障发生率泊松过程的性质11.无记忆性泊松过程的未来事件发生概率仅取决于当前时刻，与过去事件无关。22.平稳增量在相等的时间间隔内，事件发生的概率相同，与时间起点无关。33.事件独立性不同时间间隔内发生的事件相互独立，不受其他事件的影响。44.稀有性在任意短的时间间隔内，发生多个事件的概率很小。指数分布指数分布是概率论和统计学中的一种连续概率分布，它描述了事件在一定时间段内发生的概率。1无记忆性指数分布具有无记忆性，这意味着过去事件不会影响未来事件的发生概率。2平均时间指数分布的平均时间可以通过参数λ来计算，λ代表事件发生的速率。3应用指数分布广泛应用于各种领域，包括可靠性分析、排队论、金融建模和风险管理。广义泊松过程时间非均匀性