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2013建模专题讲座

模糊数学

数理部

王冰冰;一、模糊数学根底知识

二、模糊聚类分析

三、模糊识别

四、模糊综合评价;引言;如：你某时到某地去接一个“大胡子.高个子.长头发.戴宽边黑色眼镜的中年男子”，尽管提供的只有一个精确的信息——男人，而其它的信息——大胡子.高个子.长头发.戴宽边黑色眼镜.中年男人都是模糊的，但你对这些模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到这个人。;模糊数学的诞生;从精确到模糊;定义:设U是论域，称映射

A(x)：U→[0,1]

确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.

使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.

当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.;这几个图型相对于圆的隶属度;例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为;模糊集并不再答复“是或不是”的问题，而是对每个

对象给一个隶属度，所以与经典集有本质区别。而且

与隶属函数是捆绑一起的，所以可以不做区分。;模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：;（3）向量表示法;2、模糊集的运算;U={甲,乙,丙,丁}

A=“矮子”

隶属函数A=(0.9,1,0.6,0)

B=“瘦子”

隶属函数B=(0.8,0.2,0.9,1)

找出C=“既矮又瘦”

C=A∩B=(0.9∧0.8,1∧0.2，0.6∧0.9,0∧1)

=(0.8,0.2,0.6,0)

甲和丙比较符合条件;几个常用的算子：;（4）有界和、取小算子;3、模糊矩阵;并：;〔2〕模糊矩阵的合成;式中“○”表示矩阵的合成运算，类似矩阵乘法运算，但要将元素的相乘改为求最小值、相加改为求最大值。例如:;〔3〕模糊矩阵的转置;例：;二、隶属函数确实定;特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。;2.指派方法(常用)

指派方法是一种主观的方法，它主要根据人们的实践经验，来确定某些模糊集的隶属函数。如果模糊集定义在R上，那么模糊集的隶属函数称为模糊分布。指派方法就是根据问题的性质主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。常见的模糊分布有

1.矩形分布4.型分布

2.梯形分布5.正态型分布

3.k次抛物型分布6.柯西型分布

这些类型所对应的具体函数详见《数学建模方法及其应用》〔韩中庚〕。

;偏大型;偏大型;“老年”

50岁以下不是老年

70岁以上是老年

年龄越大，被认为是老年的根据越充分;偏大型;偏大型;偏大型;偏大型;3、其它方法;第二节模糊聚类分析;所谓模糊聚类方法，就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平λ∈[0,1]，可得到不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图。

模糊聚类的根本步骤：

1〕数据的标准化处理

2〕建立模糊相似矩阵

3〕聚类分析;一、根本概念及定理;自反性可推出：;2013.05.13;例：设对于模糊等价矩阵;A=[10.40.80.50.5;

0.410.40.40.4;

0.80.410.50.5;

0.50.40.510.6;

0.50.40.50.61];实际应用中建立一个模糊等价矩阵式不容易的，

传递性不易满足。;当第一次出现时，即为所求。;例：设有模糊相似矩阵;R=[10.10.2;

0.110.3;

0.20.31];二、模糊聚类的一般步骤;〔1〕标准差标准化;（2）极差正规化;2.建立模糊相似矩阵

设论域Ｕ={x1,x2,…,xn}，xi={xi1,xi2,…,xin}，如果xi与xj之间的相似程度为rij=Ｒ(i,j)，那么称之为相似系数。R=(rij)n×n称为相似系数矩阵。;〔1〕相似系数法;〔2〕距离法;〔3〕贴近度法;2013.05.13;3、聚类并画出动态聚类图;2013.05.13;解：;用最大最小法构造

模糊相似矩阵得到;取